无穷Laplace方程与Aronsson方程黏性解的正则性研究

The infinity Laplace and Aronsson equations are typical highly degenerated nonlinear second oder elliptic equations, come from the study of variational for L^\infty functional, and also arise from image processing, stochastical game theory and etc. The study of these equations is theoretically important and has wide applications. A main open question is that: Do infinity harmonic functions enjoy the local C^{1,1/3}- and local Sobolev W^{2,p}-regularity for p<3/2? Similar questions can also be asked for viscosity solutions to inhomogeneous infinity Laplace equation and (inhomogeneous) Aronsson equations. Regards of the planar (inhomogeneous) infinity Laplace equations, by understanding their anayltic and geometric structures in deep, the appliccant plans to develop a new approach to prove an asymtotic sharp partial second order Sobolev regularity (roughly, local Sobolev W^{2,2} regularity along Ggadient direction) of viscosity solutions. We also try to show that these equations themselves hold almost everywhere other than in viscosity sense. Similar results will be built up for planar (inhomogeneous) Aronsson equations. Moreover, we plan to prove everywhere differentiablity for viscosity solutions to general (inhomogeneous) Aronsson equations in any dimension.

无穷Laplace方程和Aronsson方程是一类典型的非线性、高度退化二阶椭圆方程，源于无穷变分研究，同时也产生于图像处理，随机博弈等。研究这类方程具有重要理论意义及应用价值。一个最主要的公开问题是：无穷调和函数(无穷Laplace方程的黏性解)是否具有局部C^{1,1/3}及W^{2,p}正则性(其中p<3/2)？非齐次无穷Laplace方程和(非齐次)Aronsson 方程也存在类似问题。对平面区域上(非齐次) 无穷Laplace方程，通过深入挖掘方程内在分析与几何结构，申请人拟发展新方法证明黏性解的一个渐近最优的部分二阶Sobolev正则性(可视为沿梯度方向的局部W^{2,2}正则性)，并指出方程本身几乎处处成立。进而，申请人拟对平面区域上 (非齐次)Aronsson方程建立类似结果。此外，当n>1时申请人拟证明n维欧式区域上的(非齐次)Aronsson方程的黏性解处处可微。

本项目主要研究了无穷Laplace方程与Aronsson方程以及含p-Laplace算子的偏微分方程，这些均是非线性和退化性/奇异性的. 正则性研究是核心课题之一，也是前沿热点与难点。此外，本项目还研究了一类分数次函数空间的嵌入/延拓区域。本项目取得了如下一系列创新性成果：1）当维数为2时，提出了一个新方法首次建立无穷调和函数的一个渐近最优二阶正则性(被Lindgen-Linqvist[Adv Math 2021]称为pathbreaking work)；同时，对非齐次无穷Laplace方程，及对与一致凸Hamilton函数H(p)和与<A(x)p,p>相应的Aronsson方程，均获得了黏性解的类似二阶正则性；另外，对凸且严格拟凸H(p)，证明了无穷变分绝对极小子一阶连续可微，并说明了严格拟凸的必要性。当维数大于2时，对与一致凸H(p)相应的Aronsson方程，及对与<A(x)p,p>相关的非齐次Aronsson方程，均证明了黏性解处处可微。2）提出了一个新方法建立了欧式空间上含p-调和算子的椭圆/抛物方程的一个二阶正则性，特别地，当1<p<3+2/(n-2)时，建立了p-调和函数二阶导数特征值一个下界估计，以及正规p-抛物方程黏性解二阶导数L2可积（n=2时这回答了Hoeg-Lindqvist 2020的一个公开问题）。在（加权）黎曼流形上，通过曲率下界给出了p-调和函数一个定量二阶估计. 在群SU(3)上，当1<p<7/2时证明了p调和函数的二阶导数L2可积。3）通过Ahlfors正则域，John域，一致域及MInkowski维数研究了一类（内在）分数次Orlicz-Sobolev和（内在）Q空间延拓/嵌入区域。这些成果具有重要理论意义与潜在应用价值。部分成果发表于[JMPA](2篇),[Adv Math],[SIMA],[CVPDE]和[JFA]等著名期刊, 并已被相关领域学科专家多次他引。