不适定边界条件反演问题的正则化算法及其应用

高超声速飞行器在未来国防安全中起着重要作用,其热防护系统热力耦合反演分析极具研究意义。工程中很多力学问题由于环境条件或结构形状制约，无法直接测量其完整的边界条件，从而阻碍对其正演求解。本项目拟采用几乎奇异积分正则化边界元法对其反演分析。消除边界层效应和薄体效应对反演问题的数据扰动，减少内点位置和网格疏密对反演问题不适定性的影响；探讨截断奇异值分解、Tikhonov 正则化、共轭梯度法等正则化方法的适用性和优缺点；分析数据测量误差、边界几何离散误差、物理参量插值误差、奇异积分计算误差等数据扰动对反演问题不适定性的影响规律；通过正则参数的先验选取和后验确定证明正则解的收敛性并得到其最优的渐近收敛阶；探求正则参数的选取方法；提出边界条件识别反演问题新的正则化算法。在此基础之上，以蜂窝夹芯热防护结构为研究对象，建立高效合理的边界元分析模型，反演其热力边界条件，综合实现其热力耦合数值分析。

反演问题具有重要的科学意义和工程背景。许多不可测量的物理量需要通过可测得的或已知的数据求解。该项目研究了边界条件识别反演问题，该类问题的部分或者全部边界上的一些边界条件是未知的。反演问题是不适定的，需要采用正则化技术求解。.基于边界元方法，系统研究了二维位势，二维弹性力学和三维位势等的边界条件识别问题。.研究了奇异值分解方法（TSVD）、广义奇异值分解方法（GSVD）、Tikhonov正则化方法、共轭梯度法、预处理共轭梯度法。探讨了确定正则化参数的方法，如L-curve法、广义交叉核法(GCV)、Morozov 偏差原理等，对截断奇异值分解方法提出了傅里叶系数法、波动曲线法来获得最优奇异值截断数。.针对二维位势问题，采用Tikhonov正则化方法实施正则化。采用L曲线法得到正则参数。对已知部分边界条件和内点信息的边界条件反演问题作了系统研究。截断奇异值分解方法也可求解该问题。针对二维薄体正交各向异性和完全各向异性位势问题，将解析积分法用于处理离散数值积分时出现的几乎奇异积分，截断奇异值技术用于求解离散积分所得方程。提出了基于位势梯度的波动曲线法来截取得到适用的奇异值。.针对二维弹性力学Cauchy问题，采用截断奇异值分解正则化技术来求解该问题，并使用L-曲线法来选择最优正则化参数。结果表明了截断奇异值分解算法的有效性和稳定性。通过减少随机偏差和增加单元密度可以提高求解的精确度。.如果部分边界上的边界条件只已知一半，剩余边界上的边界条件全部未知，在补充内点物理信息的基础上，可求得所有未知的边界条件。使用共轭梯度和预处理共轭梯度法来求解该问题，并采用Morozov偏差原理来选择最佳迭代步数。在涉及内点信息的边界条件反问题中，当已知位移信息的内点很靠近边界时，首先对几乎奇异积分进行正则化，然后再对反问题实施正则化。增加内点的数量和减少随机偏差能够提高结果的精度。保持一定数量的内点，在边界划分更多单元能够获得更精确的解。当内点沿着整个边界分布，两种迭代法都对内点的位置不敏感。.针对三维Cauchy位势问题，使用预处理共轭梯度法来求解，采用Morozov偏差原理来选择迭代步。引入半解析算法来处理几乎奇异积分。减小随机偏差可以提高结果精度。结果对内点位置敏感，内点越趋近待求边界，结果越精确。