不适定问题非经典正则化方法有关问题的研究

不适定性是数学物理反问题的本质特性。恢复解对数据的连续依赖性是当前不适定问题研究的主流，也是反问题研究领域的前沿和热点课题，其理论基础是正则化。目前经典的正则化方法已经形成了比较系统完备的一般理论。由于问题的推动，一些新的正则化方法不断出现，并在解决实际问题中发挥了巨大的作用，我们把这些方法统称为非经典正则化方法。这些方法大都是针对具体问题的比较零散的结果，尚没有形成较一般的理论。本课题将对这些非经典正则化方法开展三个方面的研究。一是针对一些有代表性的方法在数值拟微分算子的框架下进行比较系统的理论研究，旨在建立这些方法的一般理论体系；二是发掘有关非经典正则化方法更深入更广泛的实际应用，特别是在解决一些新问题和困难问题中的应用，希望能得到一些突破性成果；三是开展对部分方法较为细致的算法研究，以适应高维数和一般区域等困难问题的实际需求，进一步提高这些方法的有效性和实用性。

正则化方法是不适定问题研究中恢复解对数据连续依赖性的理论工具，在不适定问题研究中占有极其关键的地位。作为Tikhonov方法等经典正则化方法的重要补充，近年来多种非经典的新方法不断出现并在解决实际问题中发挥了重要作用。但这些结果相对零散，缺乏系统深入研究。本项目从理论和应用层面比较系统的研究了多种非经典正则化方法并取得了较为丰硕的研究成果。我们的主要工作可以概括为如下几个方面：1.在数值拟微分算子的框架下完整建立了Fourier正则化方法的一般理论，同时还初步建立了Meyer小波方法的先验一般理论和级数截断方法的后验理论；2.结合具体问题研究探索了多种非经典正则化方法的后验理论，所得大部分结果都是首次给出的，填补了有关研究空白；3.对贝叶斯统计方法进行了新的探索；4.结合拟边界值正则化方法对三维空间变系数二阶椭圆方程Cauchy问题的数值方法进行了深入研究，给出了一种适用于大型计算，可以大幅度提高计算速度的新算法；5.通过使用一些非经典的正则化方法，在多个有相当难度的反问题研究中取得了可喜进展。