椭圆曲线的算术

Arithmetic on elliptic curves, especially, the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, is a very important and active topic in number theory. The study of the behavior of the BSD conjecture in special family of elliptic curves is very important and, meanwhile, very hard. In the literature, extensive work has been done for the quadratic family of elliptic curves, and it turns out to be fruitful, namely, the breakthrough in the famous congruent number problem, the Goldfeld conjecture which predicts the behavior of the Mordell-Weil ranks of elliptic curves in quadratic families, the deep relation with the theory of half integral-weight modular forms and e.t.c. But the results on the family of higher twists of elliptic curves are rare and the theory is unmatured: there is no right extension of theory of the Goldfeld conjecture and of the relation with non-integral modular forms. In this program, our study focus on the family of higher twists of elliptic curves, especially the cubic and quartic twists of elliptic curves. Especially, we will study the BSD conjecutre for the related families. This work will lay out the base for the theoretical study of the family of higher twists of elliptic curves.

椭圆曲线的算术,特别是椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，是当今数论里非常重要和活跃的课题。研究BSD猜想在椭圆曲线的特殊族群里的变化行为是极其重要，同时也是非常困难的。在历史上，椭圆曲线的二次扭转族被人们广泛的研究，并取得了丰硕的成果，例如古老而又著名的同余数问题，猜测二次扭转族Mordell-Weil秩的变化行为的Goldefeld猜想，以及与半整权模形式理论的深刻联系等等。但是关于椭圆曲线高次扭转族的算术结果却很少，并且研究理论也是不成熟的，比如说，Goldfeld猜想以及与半整权模形式的联系的理论都没有得到正确的推广。本项目主要集中研究椭圆曲线的高次扭转族的算术，特别是椭圆曲线的三次扭转族与四次扭转族。特别的，我们会研究相关椭圆曲线族的BSD猜想。这将为椭圆曲线高次扭转族的算术的理论研究提供良好的基础。

椭圆曲线的算术,特别是椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，是当今数论里非常重要和活跃的课题。研究BSD猜想在椭圆曲线的特殊族群里的变化行为是极其重要，同 时也是非常困难的。在历史上，椭圆曲线的二次扭转族被人们广泛的研究，并取得了丰硕 的成果，例如古老而又著名的同余数问题，猜测二次扭转族Mordell-Weil秩的变化行为的 Goldefeld猜想，以及与半整权模形式理论的深刻联系等等。但是关于椭圆曲线高次扭转 族的算术结果却很少，并且研究理论也是不成熟的，比如说，Goldfeld猜想以及与半整权模形式的联系的理论都没有得到正确的推广。本项目主要集中研究椭圆曲线以及阿贝尔簇的高次扭转族的算术。特别的，我们会研究相关椭圆曲线族的BSD猜想。这将为椭圆曲线高次扭转族的算术的理论研究提供良好的基础。该项目的重要结果：1，理论性的解决了一般newform 局部Waldspurger priod 积分的计算问题。项目负责人及其合作者建立的精确Gross-Zagier和Waldspurger公式在椭圆曲线的BSD猜想中有着广泛的应用，其局部积分计算的理论性解决更是完备了该精确公式。2， 利用Heegner点的CM理论重新证明了部分Sylvester猜想，即在适当的条件下，任何mod 9余4，7的素数均为立方和；同时证明了与之相关的椭圆曲线的精确BSD猜想的3-部分。3，证明了具有3p和3p^2形式的立方和以其相关椭圆曲线的BSD猜想；给出含任意多素因子的形如4n的立方和以其证明相关椭圆曲线的BSD猜想。4，证明一大类非复乘椭圆曲线的无穷二次扭转族的BSD猜想；5，对高维Abelian variety的高次扭转族也做出重要工作, 如根数等分布和parity 猜想等。