L函数中心值与椭圆曲线的算术

The study of rational points on elliptic curves is both theoretically and practically significant. The central values of L-functions and their derivatives carry rich arithmetic geometric information, and are closely related to the rational points on elliptic curves. The goal of this project is to study the central values of L-functions and their derivatives, using tools such as the relative trace formulas from automorphic representation theory and analytic number theory; and to further understand the rational points on elliptic curves, with the help from the recent progress on the study of the BSD conjecture. Especially, we will study an analog of Gauss' class number problem in the case of elliptic curves. We hope this project will bring new knowledge and approaches to the study of elliptic curves.

椭圆曲线的有理点问题具有重大的理论和实用价值。L函数及其导数的中心值蕴涵了丰富的算术几何信息，与椭圆曲线有理点问题密切相关。本项目希望通过相对迹公式等自守表示论和解析数论中的方法来研究L函数及其导数的中心值，进一步诠释其算术几何意义；并借助BSD猜想方面的最新研究成果，来研究椭圆曲线有理点问题，如Ш群阶数分布等。特别是研究高斯类数问题在椭圆曲线情形的类比，能够给相关领域带来新的理解和视角。

L函数是现代数论的核心概念和研究主题，蕴含着极为丰富的数论信息。.Serre定义了整体域K上的光滑射影代数簇的Hasse-Weil L函数(-adic系数)，并猜想该L函数的每个因子都是整系数多项式，与素数的选取无关。本项目证明了等特征情形下Serre关于无关性的猜想。.邻近闭链函子与L函数密切相关。本项目研究了切片邻近闭链函子以及它与对偶函子的交换性，证明了这种交换性在一维的基底上成立，从而证明了Deligne的一个猜想。其应用之一是给出Beilinson定理（消失闭链函子与对偶函子相差Iwasawa扭曲交换）的新证明。在高维情形下，证明了双有理变换后，切片邻近闭链函子与对偶函子交换。该结果可用于证明正则基底上对偶函子保持局部零调性。.椭圆曲线的研究在数论中具有巨大理论和实用意义。本项目研究了同余椭圆曲线的非平凡Shafarevich-Tate群（Ш群）的2-部分的分布，将其归结为有限域上特定矩阵的计数。