非线性微分方程的多参数动态分支研究

In recent years,the study of bifurcations in nonlinear ordinary differential equations has yielded substantial results,formed a more comprehensive and maturate theory system,and also been applied widely in practice.The appearance of time lags or spatial diffusions can cause that a system changes into an infinitely dimensional dynamical system.Particularly,the appearance of spatial diffusions lead to that the equilibrium solutions of a system are not always contant.Therefore,the study of bifurcation in delayed ordinary differential equations, reaction-diffusion equations and delayed reaction-diffusion equations is relatively troublesome and difficult.Though some authors have already considered the dynamic bifurcations in delayed ordinary differential equations,reaction-diffusion equations and delayed reaction-diffusion equations,these works are mostly concerned with single-parameter bifurcations by choosing a certain parameter as the main bifurcation parameter while the other parameters in the system are fixed and there are few people who considered multiple-parameter bifurcations about these systems.Hence,the obtained bifurcation phenomena cannot really describe the complex dynamical behaviors of the system under consideration.To further explore the complex dynamical behaviors in the infinitely dimensional dynamical systems, in virtue of modern mathematical tools such as Spectra Theory for Linear Operators, Nonlinear Functional Analysis,and Bifurcation Theory of Dynamical Systems and so on,we are plan to study multiple-parameter bifurcation phenomena of delayed ordinary differential equations, reaction-diffusion equations and delayed reaction-diffusion equations at constant equilibrium solutions.

近年来,非线性常微分方程的分支研究已经取得了丰硕的成果,形成了较为完善和成熟的理论体系并在实际中得到了广泛的应用.时间滞后或空间扩散的出现会使一个系统变为无穷维的动力系统,特别是空间扩散的出现使系统的平衡解并不总是常数的,因此时滞常微分方程、反应扩散方程和时滞反应扩散方程分支问题的研究就变得相对棘手和困难.虽然有学者已经考虑了时滞常微分方程、反应扩散方程和时滞反应扩散方程的动态分支,但这些分支都是在系统中其他参数固定的情况下,以某个参数为分支参数的单参数分支,很少有人考虑这些系统的多参数分支,因此所得到的分支现象并不能真正反映系统的复杂动力学行为.为进一步探索无穷维动力系统的复杂动力学行为,本项目拟借助线性算子的谱理论、非线性泛函分析和动力系统的分支理论等现代数学工具来研究时滞常微分方程、反应扩散方程和时滞反应扩散方程在常数平衡解处的多参数分支.

在项目实施期间，项目组主要研究了有界空间区域上具有齐次Neumann边界条件的反应扩散方程模型和具有离散时滞的时滞微分方程模型的动力学行为。. 对一维有界空间区域上具有齐次Neumann边界条件的耦合反应扩散方程系统，在假设系统有常数稳态解并且在常数稳态解处存在Hopf分支的条件下，利用反应扩散方程的规范型理论和中心流形约化方法获得了系统在常数稳态解处空间齐次和非齐次Hopf分支的规范型。对一维有界空间区域上具有齐次Neumann边界条件和毒素决定功能反应函数的植物和食草动物反应扩散系统，通过使用线性化方法和分析系统在常数稳态解处线性化系统的特征问题得到了系统常数正稳态解的局部渐近稳定性；同时也用Lyapunov第二方法研究了系统常数正稳态解的全局渐近稳定性；另外通过选取空间区域的长度为分支参数获得了系统在常数稳态解处出现空间齐次和非齐次Hopf分支的条件。对于有界空间区域上具有齐次Neumann边界条件和Beddington-DeAngelis功能反应的两种群食饵捕食反应扩散系统，使用线性化方法发现了系统在正常数稳态解处由于空间扩散的出现而引起的Turing不稳定性，同时利用反应扩散方程的上下解方法和比较原理获得了系统常数正稳态解的全局渐近稳定性，改进了该模型已有的相关结论。. 对于具有两个时滞项的Logistic时滞常微分方程模型，当模型在平衡点处线性化系统的特征方程含有两个不同的指数项(在不考虑系数的情况下，其中一个指数项是另一个指数项的平方)时，在选取时滞参数为分支参数的情况下分析了获得了模型正平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分支的存在性；同时还发现了时滞参数的变化不仅能引起模型的平衡点从稳定到不稳定，再从不稳定到稳定的数次稳定性切换，然后最终变为不稳定的稳定性切换现象。对于具有不同离散时滞的两企业相互作用模型，利用线性化方法并选取时滞参数为分支参数获得了模型正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性，然后利用时滞常微分方程的规范型方法计算出了模型Hopf分支的规范型。最后，对所得的理论结论给予了适当的数值验证。