双曲守恒律间断伽辽金方法的超收敛后处理研究

The aim of this project is to investigate the theoretical analysis and practical application of superconvergence and post-processing of discontinuous Galerkin (DG) methods for hyperbolic conservation laws in the computational fluid dynamics community. The main technical difficulties we are going to address are: unstructured meshes for complicated geometric domain, developing numerical oscillations due to discontinuities. Therefore, the purpose of the proposed project is twofold: first, extend the ideas of post-processing to unstructured meshes while achieving the optimal superconvergence order of 2k+1; and secondly, to develop filtering and limiting techniques by drawing out useful superconvergence information to remove non-physical numerical oscillations while improving the numerical accuracy. Furthermore, tie everything together, ensure the usefulness within the broader application community by developing efficient algorithms and testing them with the actual problems such as Euler equation, magnetohydrodynamics (MHD) equation in computational fluid dynamics community. The impact of the proposed work is to establish a unified framework of theoretical analysis and algorithm design of superconvergent post-processing for DG methods for hyperbolic conservation laws. The developed algorithms will lead to more accurate and useful simulation techniques that are more competitive with existing tools by reducing the time it takes for computation.

在实际计算流体力学问题中，为处理复杂的几何计算区域而建立的非结构网格与由间断、激波所引起的数值振荡是超收敛后处理研究的技术难点。本项目拟研究计算流体力学领域中双曲守恒律的间断Galerkin方法（简记为DG）的超收敛后处理的理论分析与实际应用，其主要研究内容包括：分析非结构网格上DG方法的超收敛后处理以达到2k+1阶的最优收敛阶；以及设计基于超收敛性的过滤器去除非物理数值振荡并提高数值解的精度。此外，还将通过在欧拉方程、磁流体方程等实际问题之中的应用对研究成果进行验证与完善。项目研究成果将提高的DG方法在计算流体力学领域的模拟精度和计算效率，促进超收敛后处理与工程实际的结合，有着重要的实用价值和科学意义。

间断Galerkin方法（简记为DG），作为一类求解双曲守恒律问题的高精度数值方法，以其计算有效性和灵活性吸引了越来越多的研究兴趣，在众多研究领域发挥了越来越大的作用。本项目以双曲守恒律相关问题为主要研究对象，系统研究了基于DG方法的超收敛性及其后处理技术的理论分析与实际应用。项目主要获得的重要研究成果包括：（1）非结构网格上DG方法的超收敛性及后处理技术。此为本项目核心问题与难点，我们分析建立DG解在负模意义下的超收敛性与网格结构之间的关系，并证明了对于给定的非结构网格，DG解存在着最优后处理结果。进一步，我们提出了通过根据网格结构而计算后处理技术中核算子最优尺度的方法，从而大幅提升了数值结果的精度，减小了数值误差。（2）为了促进超收敛后处理技术与实际工程问题的结合，尝试了跨学科合作交流。系统地讨论了后处理算子在实际应用中的鲁棒性、高效性设计，以及如何在保持超收敛精度的情况下，针对不同应用问题的需求使用不同的基函数构造后处理核算子。同时，将研究成果在HPC框架下进行了并行实现。我们还分析其在波动问题中对波传播特性（如激波问题、色散性等）的影响，并展示了使用后处理技术在计算流体领域的一些应用及优势所在。（3）对于任意拉格朗日-欧拉（简记为ALE）DG方法，考虑了其基于非线性双曲方程的超收敛性的负模估计。严格证明了ALE-DG方法在负模意义下有着和均匀网格DG方法类似的超收敛性，利用后处理技术可以将其数值解从k+1阶收敛精度提升到2k+1阶。所得结果为将后处理技术推广到移动网格与非线性问题中打下了重要的理论基础。通过本项目的研究，对于非结构与移动网格，提供了DG方法的一种高效可行的超收敛后处理技术。一方面丰富了非结构网格超收敛分析的理论框架；另一方面通过对超收敛信息的利用，进而优化数值解、减小数值误差，提高数值方法的计算效率，因而对于科学计算具有很强的理论意义及实用价值。