求解双曲守恒律的WLS-ENO方法

In this project, we will research the WLS-ENO method (weighted-least-squares based essentially non-oscillatory) for solving hyperbolic conservation laws.. (1) In the original WLS-ENO method, on the reconstructed cell, the approximated polynomial does not satisfy the conservation property. In this project, we will recover it..(2) In the original WLS-ENO method, the small weight of non-smooth information would lead to the difficulty for solving the WLS, and the degree of approximated polynomial would not decrease even that the smooth information is not enough, which leads to the potential numerical instability. In this project, we will overcome this problem..(3) In this project, we will improve the weight function of WLS-ENO method. There are two strategies: <1> first normalize the original weights, and then mapping the normalized weights to the new weights by using the mapping function. <2> redesign the weight function by constructing a global smoothness indicator..(4) We will extend the WLS-ENO method to the central scheme on staggered meshes..(5) Enlightened by the smoothness indicator in WLS-ENO method, we will propose a new smoothness indicator for the existing WENO schemes, which is more suitable for the computation on unstructured meshes.

本项目研究求解双曲守恒律的WLS-ENO方法（即基于本质无振荡的最小二乘法）。.（1）在原WLS-ENO方法中，所构造的近似多项式在重构单元上并不满足守恒性。在本项目研究中，我们将恢复该守恒性。.（2）在原WLS-ENO方法中，在间断附近，非光滑信息所对应的小权值会导致赋权最小二乘求解的困难，而当光滑信息不足时，并不会降低近似多项式的次数，这会导致潜在的数值不稳定。在本项目研究中，我们将克服这个问题。.（3）在本项目研究中，我们将改进WLS-ENO方法的权函数。有两种方案。第一种，先将原来的权值进行标准化，再用相应的加映射技术，将原来的权值映射为更好的权值；第二种，通过构造全局光滑因子来重新设计权函数。.（4）我们将WLS-ENO方法应用到使用交错网格的中心格式。.（5）借助WLS-ENO方法中光滑因子的构造思想，我们将为已有的WENO方法提出新的光滑因子，使其更适合于非结构网格的计算。

在本项目中，我们研究了求解双曲守恒律的WLS-ENO方法，取得了如下成果。. 首先，我们提出了一个改进型的WLS-ENO方法，即先根据光滑性对候选单元进行排序，再构造一个WLS-ENO重构多项式，使之先以守恒方式近似最光滑的几个单元平均，再以WLS方式近似其它的单元平均。由于所得的WLS问题只有一个未知量，故可用正则方程来直接求解，而无需使用QR分解。改进的WLS-ENO方法具有高精度和ENO性质，且比原方法有更高的计算效率。. 其次，我们提出了一个基于WLS的简单WENO-AO方法（SWENO-AO）。与原WENO-AO重构不同，无论是在一维、二维还是三维方法上，SWENO-AO重构都是一个高阶线性子重构和一个二阶非线性子重构的非线性凸组合。同时，我们也为SWENO-AO重构提出了一个更简单的权函数。注意到，其中的二阶非线性子重构是基于WLS策略的，因此它无需对候选单元进行分组，从而更适合去求解高维问题。. 第三，我们提出了一个基于LS二次多项式的一维杂交WENO-AO方法。与原问题单元指示子不同，改进的问题单元指示子是基于LS二次多项式的极值点位置。它有两个优点：（1）改进的问题单元指示子易于推广到更高阶方法；（2）其极值点具有简单的显式计算公式，从而可以进行相应的理论分析。