求解双曲守恒律的加映射CWENO方法

In this project, we study the mapped CWENO method for hyperbolic conservation laws. By the research, we find that, the CWENO method[J. X. Qiu, C.-W. Shu, On the construction, comparison, and local characteristic decomposition for high-order central WENO schemes, J. Comput. Phys. 183(2002) 187–209], which is used to solve the one-dimensional hyperbolic conservation laws, would lose its optimal order of accuracy near critical point, and have the numerical solution which resolution is not high enough, specially in the simulations for long time problem or high-frequency perturbation. So we first study the mapping for solving the one-dimensional hyperbolic conservation laws, and use it to recover the optimal order of accuracy of numerical scheme near critical point, improve not only the resolution of numerical solution but also the efficiency of numerical scheme; then we study the mapping for solving the multi-dimensional hyperbolic conservation laws, and apply it to more practical use.

本项目研究求解双曲守恒律的加映射CWENO方法。前期研究发现，在求解一维双曲守恒律的CWENO方法中[J. X. Qiu, C.-W. Shu, On the construction, comparison, and local characteristic decomposition for high-order central WENO schemes, J. Comput. Phys. 183(2002) 187–209]，数值格式在临界点附近会丢失其最优精度，且数值解的分辨率不够高，尤其是在长时间问题或高频振荡问题的模拟中。因此，我们首先研究求解一维双曲守恒律的加映射技术，恢复格式在临界点附近的最优精度，且在提高数值解分辨率的同时提高格式的计算效率；其次，我们研究求解高维双曲守恒律的加映射技术，将其应用于求解更广泛的实际问题。

在本项目中，我们研究了求解双曲守恒律的加映射CWENO方法。此外，我们发现，若将CWENO方法中的经典WENO重构（G.-S. Jiang, C.-W. Shu, J. Comput. Phys., 126:202–228, 1996）替换为新的自适应阶WENO重构（Balsara、Garain和Shu，J. Comput. Phys., 326:780–804, 2016），CWENO方法可以得到进一步的提高，因此，我们也研究了自适应阶WENO重构(WENO-AO)，尤其是它的光滑因子。. 首先，我们研究了求解一维双曲守恒律的加映射CWENO方法。注意到，CWENO方法包含两个WENO重构步骤和一个WENO近似步骤。理论分析发现，当临界点存在时，两个WENO重构步骤都存在最优精度丢失的现象，而所丢失的精度可以通过使用加映射技术来恢复。另外，我们还发现，只需在第一个WENO重构步骤使用加映射技术，在不增加太多计算量的同时，能较大地提高数值解的分辨率，尤其是在长时间问题和高频振荡问题的模拟中，从而提高了计算效率。. 其次，我们还研究了自适应阶WENO重构，尤其是它的光滑因子。第一，我们为5阶WENO-AO重构中的5阶重构多项式提出了一个简单有效的光滑因子，它能直接应用到非均匀网格的计算；第二，基于5阶WENO-AO重构，我们构造了一个6阶自适应中心迎风WENO-AO格式，并为其中的6阶重构多项式提出了一个简单有效的光滑因子。