非线性椭圆方程正解性质的研究

很多天体物理、黎曼几何，反应扩散等应用问题都可以由一个非线性椭圆型方程、非线性抛物型方程来描述。由黎曼几何引出的Lane－Emden方程，以及随后由天体物理引出的Emden－Flower方程正解的性质一直被人们所关注。本项目主要对这类非线性椭圆型方程和对应的抛物型方程的径向正解的性质进行深入研究。对于椭圆方程，我们讨论解的存在性、渐近性以及单调分层性等；对于非线性抛物型方程，在一定的拓扑结构下，讨论其平衡解的稳定性。同时我们还将讨论Hardy方程和与著名的Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式相关的方程的这类性质。对于双（多）调和方程，我们讨论正解的存在性，结构（例如分离性），以及解的渐进性等。对这一问题的研究会涉及到非线性分析、几何拓扑等重要的理论分支。因此我们的研究既能丰富偏微分方程理论，又能促进其他学科科学研究的发展，研究结果将能为一些实际问题提供理论指导。

很多物理现象和几何问题都可以由一个非线性偏微分方程来描述。这类方程的解的存在性、多解性及其各种性态（如存在性、奇异性，渐近行为、单调分层性和稳定性等）的研究，一直被人们所关注。本项目对几类与天体物理和微分几何有关的非线性椭圆方程和抛物方程进行了研究。主要研究成果可归结为下面几个方面：. 1)对带权的Laplacian算子方程问题 ，我们得到了正解的存在性，渐进行为和单调分离性。同时我们也得到了Hardy方程和与著名的Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式相关的方程一类正（非负）解的存在性，分离性和在零点和无穷远处的渐近行为。最后，我们还得到一些相应抛物方程平衡解的稳定性结果。. 2）对另一类半线性椭圆方程，我们得到了正解的在无穷远处的渐近行为，正解的单调分层性，对应抛物方程平衡解的稳定性以及奇异解的存在性和单调分层性。 . 3）对双（多）调和方程，得到了一些较好的存在性结果。.最后，我们还得到了一些偏微分方程的其它有趣结果。