分形集的Lipschitz等价分类

本项目主要研究分形集（包括自相似集和Moran集）的Lipschitz等价分类及相关问题。Falconer认为在某种意义下，分形几何就是研究几何对象的Lipschitz等价分类。与分形集维数理论方面的研究相比，分形集Lipschitz等价分类方面的研究目前还没有形成成熟的理论和方法，所得到的结果也缺乏系统性。因此开展对相关问题的研究就显得迫切且更具意义。具体来说，我们将研究自相似集（满足强分离条件或开集条件）的Lipschitz等价分类，并将所得到的结果和方法运用到对Moran集的研究中去，刻画某些特殊Moran集类的Lipschitz等价类，引入概率论的方法描述这些等价类的大小，并且研究Moran集BPI等价与Lipschitz等价的关系。.这些问题涉及分形几何研究的核心内容，相关研究结果能深入刻画分形集的几何结构，具有十分重要的理论意义。

本项目研究了分形集的 Lipschitz 等价分类及其相关问题。最重要的结果是：对于完全不连通、满足开集条件且压缩比可公度的自相似集，我们得到了这类自相似集的 Lipschitz 等价完全不变量，揭示了 Lipschitz 等价类与理想等价类的一一对应，将自相似集的Lipschitz类数问题与代数数论中的理想类数问题联系起来，得到了著名的 Gauss 类数猜测的一个几何版本。项目还研究了 Moran 集的 Lipschitz 嵌入及拟 Lipschitz 等价问题，以及自相似测度局部维数的发散点的重分形问题。