椭圆曲线和代数K-理论相关问题的研究

Algebraic K-theory provide new ideas and methods to study arithmetic algebraic geometry, in particular elliptic curves.In this poject, we shall study the arithmetic properties of elliptic curves，the relation between elliptic dilogarithm and L-functions of elliptic curves (Zagier's conjecture）and Beilinson's conjecture by the relationship between Mahler measure and K-theory of elliptic curve. By the theory of CM elliptic curve ,we will study the problem of primes captured by quadratic polynomials. Developing of our original methods, we further study the relationship among K-groups of the ring of algebraic integers, higher Regulators, L functions, Zeta functions and Iwasawa invariants of number fields.

代数K-理论为研究算术代数几何,特别是椭圆曲线提供了新思路新方法.本项目利用椭圆曲线的K-理论和Mahler测度之间的关系来研究椭圆曲线的算术性质，椭圆双对数与L-函数之间的关系（Zagier猜想）以及Beilinson猜想.利用带复乘的椭圆曲线的理论来研究二次多项式表素数问题. 发展我们已有的独创方法研究数域的代数整数环的K群与高阶Regulator，L函数，Zeta函数，Iwasawa不变量方面的关系.

本项目超额完成了预定目标，在 C. R. Acad. Sci. Paris, Ser.， International Journal of Number Theory，The Proceedings of the London Mathematical Society，Math. Research Letters等国际著名杂志上发表 SCI 论文14篇，还有多篇论文已投稿. 我们完全解决了有限域多项式环上的 Lehmer 问题；我们给出 Iwasawa 序列的定义并研究其性质；我们将椭圆曲线和数域的代数动力系统的 Zsigmondy 性质推广到 Drinfeld 模上得到 Zsigmondy 集的有限性；在椭圆曲线与多项式表素数方面取得了重要结果，研究了美国科学院院士，著名数学家，哈佛大学B.Mazur教授40年前的关于anomalous 素数的一个猜想，证明了Hardy-Littlewood 猜想和Mazur猜想等价；同时，还给出anomalous 素数的密度，结果否定了Mazur猜想平均分布的猜想. 关于椭圆曲线的 Mahler 测度及椭圆曲线的 Beilinson 猜想的研究，我们也取得重要进展. 在椭圆曲线的算术、K-理论与三元二次型表整数、算术动力系统等方面都取得很好的成果.