椭圆曲线和Iwasawa理论相关问题的研究

Iwasawa理论和代数K-理论为研究算术代数几何,特别是椭圆曲线提供了新思路新方法.椭圆曲线不仅内容丰富,而且应用广泛.发展我们已有的方法利用椭圆曲线来研究多项式表素数问题,研究有限域上的高阶K-群在密码学中的应用; 通过研究椭圆曲线的Galois上同调，Selmer复形， 结构矩阵得到椭圆曲线的秩， Tate-Shafarevich群等方面有意义的结果.

获得了代数整数环K群的新结果，这些结果揭示了K群与数论中一些基本概念, 基本问题之间的新的关系，提出了新的方法研究K群结构与理想类群方面更深层次的联系，在代数K-理论中的密度问题，K群与高阶Regulator，Zeta函数，Iwasawa不变量方面的关系证明了新的定理. 建立了数域的代数整数环的偶数阶高阶K-群与Iawasawa不变量之间的联系. 对有限域 上的光滑曲线 ，我们得到 的高阶K群的阶满足代数数域的理想类群的经典的Iwasawa定理；应用该成果，我们得到有限域上的椭圆曲线的高阶K群的结构, 并在密码学中有潜在应用. 对于整系数多项式产生的数列和Lucas序列，我们定义了一类Farhi算术函数，并证明这是一类特殊的周期函数，并研究了其最小正周期；然后我们将该理论应用于Fibonacci 数列、Pell 数数列等特殊的数列得到有意义的结果，最后又研究模形式及椭圆曲线的L函数展开式的系数数列，得到很好的成果；利用带复乘的椭圆曲线的理论来研究多项式表素数问题，得到anomalous 素数、Lang-Trotter 猜想和 Hardy-Littlewood 猜想之间的关系.