各向异性散射辐射输运方程的渐近保持格式研究

The radiative transfer equation is a kinetic equation that describes the propagation of photon particles and has important applications in fields like nuclear engineering, heat transfer, and medical imaging. Problems in real-world applications usually include both optically thin and optically thick media, and the mean free path of photons vary greatly in different regions. One of the main difficulties in computing the radiative transfer equation is that one needs to accurately capture the non-equilibrium effect in optically thin media, and at the same time, be an effective solver in optically thick media where the solution satisfies a diffusion equation. The asymptotic preserving schemes provide an effective solution to this problem. However, almost all current asymptotic preserving schemes are for isotropic scattering, while real-world problems usually contain anisotropic scattering kernels, which brings in essential difficulties for designing uniformly stable schemes. This project aims to develop new asymptotic preserving schemes for problems with anisotropic scattering kernels. To deal with the difficulties brought about by the anisotropic scattering, we utilize new ideas from the field of moment method for constructing penalty terms or use the special structure of the scattering kernel to derive efficient implicit algorithms. The new schemes are expected to be uniformly stable, and at the same time give a consistent discretization of the limiting diffusion equation in optically thick media. This project will widen the scope of application of the asymptotic preserving schemes, and further its applications in the previously mentioned fields.

辐射输运方程是描述光子输运过程的动理学方程，在核工程、热输运、生物医学等领域均有重要的应用。数值求解该方程的一个重要难点是多尺度性问题，具体表现为在输运介质的不同区域，光子平均自由程相差极大。计算过程需准确捕捉光性薄区域方程解的非平衡效应，同时需在光性厚区域具有高效性。渐近保持格式能很好地解决该多尺度性带来的问题，但已有的研究一般针对各向同性散射，而实际应用中的散射核往往是各向异性的，此时复杂的散射项给设计一致稳定的格式带来了本质的困难。本项目研究的重点，是构造针对各向异性散射的渐近保持格式。拟计划引入矩方法领域的新思路设计惩罚方法，并利用特定应用问题中散射项的特殊结构设计高效隐式算法，解决各向异性散射带来的困难。预期格式具有一致稳定性，且能在光性厚区域给出满足极限扩散方程的计算结果。通过本项目的研究，将显著扩展渐近保持格式的适用范围，推动其在前述诸多领域中的应用。

辐射输运方程在核工程、热输运、生物医学等领域均有广泛的应用。该方程描述光子输运过程，其数值求解的一个重要难点是多尺度性问题。其具体表现为，光子平均自由程在输运介质的不同区域或同一介质不同频段可能相差极大。这要求计算过程既准确捕捉稀薄流域方程解的非平衡效应,又在连续流域具有高效性。本项目致力于发展求解问题具有多尺度性的情形下，各向异性辐射输运方程及其相关动理学方程的高效求解方法。具体的，项目针对非线性灰体辐射输运方程的Pn矩模型，主要分析了其各阶矩系数的渐近关系，提出了显式处理渐近展开高阶小量、隐式处理渐近展开低阶部分的一种显隐格式(IMEX)。理论分析和数值实验表明，该方法具有渐近保持性质。该方法也适用于各向异性辐射输运方程。针对频率依赖的辐射输运方程，发展了渐近保持和流域自适应的粒子方法，该方法对于稀薄流域，计算量与传统蒙特卡洛方法相当；对于连续流域，计算量与直接求解Rosseland扩散方程相当。在进行跨尺度计算时，相对于传统蒙卡方法计算效率提高数倍，同时保持相同的精度。针对玻尔兹曼方程，基于正则化矩系统的框架，构造了低阶矩和高阶矩模型的混合模型，并发展了一种求解极大熵封闭关系的高效算法进行两者之间的转换。该方法具有流域自适应性质，极大提高了连续流域的计算效率，可应用于各向异性辐射输运方程。发展了动理学方程正则化矩模型的框架，基于对分布函数空间梯度的多项式展开给出矩系统的封闭关系。该框架涵盖几乎所有现有的动理学方程的全局双曲矩模型。同时，基于该框架，可获得全局双曲、保持Navier-Stokes-Fourier定律的矩模型，为基于这类模型进一步发展渐近保持格式提供了理论基础。