广义测度的泛函刻画及其应用

The theories involved in this project contain Banach space theory, geometric nonlinear functional analysis, convex analysis in infinite dimension spaces,generalized measure theory, probability and statistics. Our aim is to study,totally or partial solve the following questions:(1)the use of statistical convergence and statistical measure to characterize weak compactness of sets in Banach spaces..(2)show the nonlinear functional characteristics of some kind of generalized measures such as Choquet capacities，fuzzy measures by the means of functional analysis, and thus provide new research methods in application..(3) investigate a new way based on convex analysis to approach dependent random variables by using independent ones,and try to apply in probability and statistics.

本项目属Banach空间几何理论、几何非线性泛函分析、无穷维凸分析、广义测度论和概率论与数理统计的范畴，旨在综合运用和进一步发展上述领域中经典的理论、思想和方法技巧，同时结合国内外相关领域的最新进展，来研究、解决或部分解决下列问题：.（1）利用统计收敛及其等价统计测度，给出Banach空间集合弱紧性特征。.（2）给出广义测度中一些主要分支，如Choquet容度，模糊测度等，对应的非线性泛函特征，达到用泛函分析手段重新细致刻画各类测度，从而为其在实际应用提供新的研究方法。.（3）研究非独立随机变量用独立随机变量逼近的凸分析新方法，并提供其在概率论与数量统计中的应用。

本项目力图用Banach空间几何理论，无穷维凸分析的思想和方法来研究测度论，概率论与数理统计中的若干问题，从“理想收敛及其等价刻画”出发对下述内容展开研究：.1.有限可加测度在理想收敛上的应用，以及用理想收敛等价刻画集合的局部（弱）紧性。.2.可逼近集，逼近紧集的代数运算，空间及子空间逼近紧性研究。.3.球覆盖性质的研究。.4.面板数据下均值模型的变点估计。 .主要研究结果有：.1.建立了理想 I具有可加性质（AP）的等价刻画，并定义了一类比I-收敛更具普遍意义的I -A -收敛，利用次微分工具给出了对应有限可加测度的测度表示。这一方面给出了研究理想收敛重要性质---可加性质的全新描述，另一方面亦是有限可加测度的应用体现。.2.证明了对Banach空间中的非空闭凸集C ， C中每个有界序列都（弱）紧I -收敛当且仅当C 是局部（弱）紧的。这从统计收敛的角度得到了局部（弱）紧的一个新的特征刻画。.3.用两种不同的收敛方式刻画A -收敛，并证明了A -收敛为测度 -Pext（IA）几乎处处收敛的充分必要条件是该 A-收敛为非退化的，这从极端测度的角度给出了 A-收敛与几乎处处收敛的关系。.4.建立了Banach空间子空间单位球逼近紧性的特征刻画，证明了Banach空间及其子空间逼近（弱）紧性在 lp-直和下的稳定性，其中1<p<infinite 。这发展了球可逼近性相应的已有结论。.5.证明了Banach空间X,Y 具有球覆盖性质（BCP）当且仅当X*Y在lp范下具有BCP，其中1<=p<=infinite 。这改进了（去掉了GDS的假设）已有的关于乘积空间具有球覆盖性质的结论。.6.研究了面板数据下均值模型的变点估计问题，提出了一种新的估计方法，即新的Cusum估计，其表现极大的优于Monte Carlo方法。