面向复杂边界的广义重心坐标关键问题研究

Because of their many excellent properties, generalized barycentric coordinates (GBCs) are widely used in Computer Aided Geometric Design, Computer Graphics, Image Processing, Finite Element Analysis and related areas. This project focuses on key problems of GBCs for complex boundary.The main topics are: (1) new construction methods of GBCs on arbitrary polygons and polyhedrons, which have better properties than existed coordinates; (2) GBCs with respect to arbitrary polygons and polyhedrons and some isolated inner points and polylines; (3) simple and efficient computational methods for GBCs on boundaries of closed smooth curves and surfaces; (4) GBCs defined on closed boundaries consisting of straight lines and curves or planes and surfaces; (5) some properties, such as monotonicity, convexity and bounds on gradients, of GBCs on complex boundary, (6) applications of GBCs in isogeometric analysis, image vectorization and related areas. The complex boudary adressed in this project includes almost all kinds of boudary in practice. This project will help to extend the theoretic foundations of GBCs and then promote its further application in related areas.

广义重心坐标具有诸多优良性质，因而广泛应用于计算机辅助几何设计、计算机图形学、图像处理和有限元分析等领域。本项目针对复杂边界条件下广义重心坐标的关键问题展开研究，主要内容有：（1）任意多边形和多面体上若干新的广义重心坐标构造方法，其性质优于现有的广义重心坐标。（2）把广义重心坐标推广到多边形或多面体及其若干内点和折线形成的广义边界。（3）以光滑曲线曲面为边界的区域内点关于边界曲线曲面广义重心坐标的简单高效计算方法。（4）把广义重心坐标推广到直线与曲线或平面片与曲面混合而成的边界。（5）探讨复杂边界条件下广义重心坐标梯度模的界、沿顶点与边界点连线的单调性、凸性等性质。（6）复杂边界条件下的广义重心坐标在等几何分析、图像矢量化等领域中的应用。本项目所涉及的复杂边界基本上涵盖了目前各种应用领域中所遇到的边界，所以本项目的完成将有助于完善广义重心坐标的理论体系，从而进一步促进它在相关领域中的应用。

广义重心坐标广泛应用于计算机图形学和有限元分析等领域。虽然文献中已有若干广义重心坐标的构造方法，但是，在复杂边界条件下同时具有正性和光滑性且计算较为简单的广义重心坐标构造方法却非常少。本项目旨在构建面向具有复杂边界的区域上同时具有正性、光滑性的广义重心坐标，以满足各个具体应用领域对广义重心坐标的需求。同时，也研究了广义重心坐标在曲线曲面构造、参数优化等方面的应用。主要成果有：1.改进具有正性的Gordon-Wixom坐标的构造方法，弥补了其用于多边形时不光滑的缺陷，所得坐标称为正且光滑的Gordon-Wixom坐标。2.提出了定义于任意多边形上的具有正性和光滑性的迭代坐标。该方法的核心思想是通过迭代把任意多边形变形成凸多边形。3.将多边形三角化后定义点、边、面衍生而成的点多边形、边多边形和面多边形，在此基础上提出基于衍生多边形的混合坐标。该坐标具有正性、光滑性、局部性等性质。4.基于渐进迭代逼近的思想提出渐进迭代坐标。该方法的关键是通过调整迭代点的位置使得其与待求点距离逐渐缩小直至重合，从而计算出待求点的坐标。5.提出了定义于任意多边形上且具有正性、光滑性的混合坐标。该混合坐标只需用到点多边形，可以根据计算网格点所用的重心坐标不同获得具有各种优良性质的广义重心坐标。6.基于最小二乘拟合、带非负约束的ADMM算法提出最小二乘坐标。该坐标适用于多边形(多面体)及其内部的点、折线、(截面)或散乱点列，所以非常适用于形状变形。由于在求解过程中无需剖分多边形，所用的几何步骤只有投影和线性组合，所以很容易推广到高维情形。7.把广义重心坐标用于四边形网格上K-2环结构的曲面构造、P样条曲线的构造、广义Bézier面片参数的优化等方面。已发表（含录用1篇）17篇论文，其中SCI收录论文7篇，EI收录论文5篇，获第十四届中国计算机图形学大会最佳论文二等奖1篇，第二十二届中国计算机辅助设计与图形学大会优秀学生论文奖1篇；培养硕士研究生15名；邀请境外专家系列报告1人次，2人次参加国际学术会议，2人次境外交流访问，35人次参加国内学术会议。