群代数的双曲模判别及应用

近年来Isaacs, Dade, Loukaki和Lewis等人在有限群的特征标对应及M-群的工作中，一再地显示出双曲模具有独特而重要的技术功效，特别是它能"消解"特征标的完全分歧现象。双曲模的判别方法主要有Dade定理和Loukaki定理，属于有限群在"小域"上的表示，涉及到有限辛几何。申请人在最近发表的论文中，首次提出了双曲模的特征多项式判别法，改进了Loukaki定理， J.Algebra审稿人评价该文为retains a lot of originality. 本项目将使用Brauer特征标，研究一般有限群在任意有限域上辛模的双曲性判别问题，目标是建立类似的特征多项式判据，弥补Dade定理的不足。在应用方面，以双曲模为核心技术，拟推广Isaacs和Dade关于特征标完全分歧对应的两个定理、得到Glauberman-Isaacs对应的一个新的精确描述、改进Loukaki的M-群定理。

本项目拟解决的核心问题(即问题1)是建立双曲模的特征多项式判别法. 申请人与项目组主要成员樊恽教授合作,于2012年在Journal of Algebra发表的论文中, 解决了基域特征为奇素数情形. 但余下的是基域特征为2的情形, 被公认为是双曲模判别中最艰难的问题. 申请人和樊恽教授合作, 使用自对偶模的Grothendieck群等技术, 在2014年底彻底解决了该问题. 我们获得了任意群在特征2域上的双曲模判别方法, 找到了所需的特征多项式判据, 在应用部分还解决了自对偶码的自同构群的刻画问题, 所得成果于2015年发表在美国《Advances in Mathematics》上. 值得一提的是, 审稿人在评审报告中写道: "The main results are quite surprising and nice with interesting applications in representation and coding theory. They definitely should go in print." 我们认为这是非常高的评价. 此外, 审稿人还建议把论文题目中的Hyperbolic modules(双曲模)改为Metabolic modules, 他认为后者在拓扑学中更常见和更常用.. 在本项目的理论部分得到彻底解决后, 在应用部分我们研究了其余三个问题, 也分别完整地解决了问题2(即统一并推广了Isaacs和Dade的特征标完全分歧对应定理)和问题3(获得了Glauberman-Isaacs特征标对应的精确描述及其乘法形式). 最后一个是问题4(即改进Loukaki关于M-群的定理), 由于研究方案的改变和时间调整, 我们尚未取得所期望的突破, 但发表了若干相关的研究成果.. 本项目在执行期间举办一次和参加三次学术会议, 培养了15名硕士生, 两名博士生和两名青年教师.