N-体问题中周期轨道的一些研究

This project studies the existence and stability of the periodic orbits in the N-body problem. The N-body problem is not only an important branch of dynamical system, but also an approximate model of the planetary motion system in the universe. It has important practical significance and application value. Since the N-body system above three bodies is not integrable and the dynamical properties are very complex, the study of some special forms of motion, such as periodic motion, has become one of the important topics of N-body problem. There are still many unsolved problems about the existence and stability of periodic orbits, which are also important issues in many branches of mathematics such as nonlinear analysis, symplectic geometry and dynamical system. This project is dedicated to studying the periodic orbits of the classical three body problem and the more general N-body problem, through the trace formula of linear Hamiltonian system, Maslov type index theory of symplectic path and spectral theory of differential operator to establish their existence conditions, criterion of linear stability and estimate their stable region and unstable region quantitatively.

本项目研究N-体问题中周期轨道的存在性及其稳定性。N-体问题不仅是动力系统的一个重要研究分支，而且是宇宙中行星运动系统的近似模型，具有重要的现实意义和应用价值。由于三体以上的N-体系统不可积，动力学性质极为复杂，因此对一些特殊形式的运动，如周期运动的研究则成为N-体问题的重要课题之一。其中关于周期轨道的存在性及其稳定性方面还有许多未解决的问题，这也是非线性分析，辛几何和动力系统等许多数学分支关心的重要问题。本项目致力于对经典的三体问题及更一般的N-体问题中的周期轨道进行研究，通过线性哈密顿系统迹公式，辛道路的Maslov型指标理论以及微分算子谱理论来建立它们的存在性条件和线性稳定性判别准则并对它们的稳定区域和不稳定区域进行定量估计。

本项目主要以宇宙中行星运动规律为研究背景，主要研究N-体问题中周期轨道的存在性及其稳定性，具有重要的现实意义和应用价值。该项目具体研究线性哈密顿系统迹公式及其在椭圆相对平衡解中的应用；对一些常见类型的解研究它的碰撞指标，设计出估计碰撞指标的方法；对以土星环为模型的正（1+n）形模型进行研究，得到关于任意离心率的稳定性结果。该项目在这三年取得了很好的研究成果，成功的将S边值的Hill型公式和Krein型哈密顿系统迹公式推广到分离边值情形，给出椭圆欧拉解椭圆双曲区域的定量估计并给出拉格朗日解线性稳定区域更好的定量估计；证明了正(1+n)-形椭圆相对平衡解在8≤n时，对任意离心率，只要中心质量足够大，则系统是线性稳定的；对N-体问题中起点和终点为碰撞或无穷远的一类奇性解建立了它们的Morse指标和Maslov-型指标之间的关系，给出条件判定Morse指标何时趋于无穷或有限。该项目的研究成果也具有科学意义，分离边值下的哈密顿系统迹公式是原始Krein型迹公式中没有研究的情形，因此这是哈密顿系统迹公式的进一步完善和推广，而（1+n）形相对平衡解的研究作为土星与土星环系统的近似模型，该模型的稳定性性质具有物理意义和应用价值。该项目的研究成果发表在知名微分方程杂志上。