高维复杂碰撞-分枝-移民模型的研究及其应用

It is well-known that Markov branching processes is one of the most important research fields in probability. It has important applications.in queueing networks, population science and molecular biology. Its essential characteristic is "branching property", i.e., different particles act independently when they give offspring. However, in many realistic situations, the above independence property is unlikely to be appropriate. For example, in most ecological systems, the branching events are effected by the interaction of two or more particles rather than by the particles individually. This leads many interests of probabilisty scholars. In recent years, we first studied such complex systems and many important results are obtained. The main aim of this project is to construct and discuss multi-type complex collision-branching-immegration models. Since the complexity and difficulty in multi-type cases, we will find new motheds to discuss the uniqueness, stability, extinction behaviour, explosion property and decay property. Further, we will find the applications in queueing networks with multi-type costomers.

马氏分枝过程是概率论的一个重要研究分支，在排队网络、通讯、人口科学和分子生物学等领域具有广泛的应用。其本质特征是所谓的"分枝性"，即粒子的演变是相互独立的。然而，从实际应用来说，这种独立性限制过于严厉。例如，在大多数生态系统中，粒子之间是互相影响的。因此，如何揭示系统中同类或异类粒子之间的这种相互作用、相互影响的依赖关系便成为一个重要的课题，引起了人们极大的兴趣。许多概率论学者对单物种情形取得了一系列重要研究成果。近年来，本项目组成员率先对高维分枝模型进行了初步推广研究，取得了一些重要成果。本项目的主要研究目标是建立并深入系统地研究高维复杂碰撞-分枝-移民模型，鉴于高维问题的复杂性和难度，我们提出新的方法深入研究这类过程的唯一性准则、稳定性质、吸收性质、暴炸性质以及衰减性质等问题；并应用于多类型顾客排队网络，研究多类型顾客排队网络系统的队长、忙期以及忙期内忙碌程度的拟平稳分布等实际问题。

马尔可夫分枝过程是概率论的一个非常重要研究分支，在排队网络、人口科学、量子物理学和分子生物学等领域中具有广泛的应用。马尔可夫分枝过程的本质特征是所谓的“分枝性”，即粒子的演变是相互独立的。然而，在实际问题中，系统中的粒子之间存在相互作用和相互影响关系。因此，如何揭示系统中粒子之间相互作用、相互影响关系具有极大的挑战性而引起了概率论学者的浓厚兴趣，从而，进一步将马尔可夫分枝过程推广到更一般的复杂分枝模型的研究便成为概率论中一个非常重要的课题。许多概率论学者为此进行了大量研究，并取得了一系列重要研究成果。本项目的主要目的是进一步深入系统地研究多物种复杂碰撞模型、复杂分枝模型以及碰撞-分枝-移民混合模型，深入研究这类过程的唯一性准则、吸收性质、暴炸性质、衰减性质以及遍历性等问题，并应用于多类型顾客排队网络。具体来说，主要研究了以下重要问题：. (1)建立并研究具有交互作用带有移民与拯救的复杂分枝模型，研究存在唯一性、稳定性质（包括常返性、遍历性以及收敛速度等问题）。解决了一类非常一般的具有交互作用的分枝过程的正则性准则和吸收概率向量，给出了过程的平均吸收时间和条件平均吸收时间的精确表达式。同时，给出了平均爆炸时间和全局平均生存时间的精确表达式。. (2)建立高维复杂分枝模型，研究过程的存在唯一性、吸收性质、爆炸性质、常返性和遍历性等问题 。研究了n维带移民的马尔可夫分枝过程，得到了过程的衰减速度及相关性质。同时，研究了n维带灾难和移民的马尔可夫分枝过程，刻画了灾难对系统的影响。. (3)进一步研究具有移民与瞬态拯救的复杂分枝模型，解决了过程的构造以及不中断过程的常返性、遍历性及收敛速度等问题。. (4)深入研究了连续时间马尔可夫分枝过程的三种大偏差问题，得到了这三种大偏差收敛速度的精确估计，给出了系统中粒子数增长速率的精确刻画。同时，研究了带移民的连续时间和离散时间马尔可夫分枝过程大偏差问题，得到了大偏差收敛速度的精确估计。. (5)研究了一般停止马尔可夫成批到达成批服务模型，得到了过程的衰减参数及相关性质。. (6)研究了马尔可夫分枝过程、加权马尔可夫分枝过程以及加权马尔可夫碰撞过程的定程穿越性质，得到了任意时间内定程穿越次数的分布及相关性质。