多物种复杂分枝模型及其在排队网络中的应用

It is well-known that Markov branching processes is one of the most important research fields in probability. It has important applications in queueing networks, population science and molecular biology. Its essential characteristic is "branching property", that is to say, different particles act independently when they give offspring. However, in many realistic situations, the above independence property is unlikely to be appropriate. For example, in most ecological systems, the branching events are effected by the interaction of two or more particles rather than by the particles individually. Therefore, it is very important to reveal the relationship of particles when they are effected on each other. Many probability scholars have studied the case of single type particles and a number of research results have been obtained. In recent years, we firstly studied some multi-type complex branching models and obtained some important research results. The main aim of this proposal is to constructand study multi-type complex branching models. Since the complexity and difficulty in multi-type cases, we will find new motheds to discuss the existence and uniqueness, extinction behavior, ergodicity and decay property. Further, we will find the applications in queueing networks with multi-type costomers.

众所周知，马氏分枝过程是概率论的一个重要研究分支，在排队网络、人口科学和分子生物学等领域具有广泛的应用。其本质特征是所谓的"分枝性"，即粒子的演变是相互独立的。然而，从实际应用角度来说，这种独立性限制过于严厉。例如，在大多数生态系统中，粒子之间是互相影响的。因此，如何揭示系统中同类或异类粒子之间的这种互相作用、互相影响的依赖关系便成为一个重要的课题，引起了人们极大的兴趣。许多概率论学者对单物种情形取得了一系列重要研究成果。近年来，本项目组成员率先对多物种分枝模型进行了初步推广研究，取得了一些重要成果。本项目的主要研究目标是建立并进一步深入系统地研究多物种复杂分枝模型，鉴于多物种问题的复杂性和难度，我们提出新的方法深入研究这类过程的唯一性准则、吸收性质、暴炸性质以及衰减性质等问题；并应用于多类型顾客排队网络，研究多类型顾客排队网络系统的队长、忙期以及忙期内忙碌程度的拟平稳分布等实际问题。

马氏分枝过程是概率论的一个重要研究分支，在排队网络、人口科学和分子生物学等领域具有广泛的应用。其本质特征是所谓的“分枝性”，即粒子的演变是相互独立的。然而，从实际应用角度来说，这种独立性限制过于严厉。因此，如何揭示系统中同类或异类粒子之间的这种互相作用、互相影响的依赖关系便成为一个重要的课题，引起了人们极大兴趣。许多概率论学者对单物种情形取得了一系列重要研究成果。本项目的主要研究目标是建立并进一步深入系统地研究多物种复杂分枝模型，深入研究这类过程的唯一性准则、吸收性质、暴炸性质、衰减性质以及遍历性等问题；并应用于多类型顾客排队网络。具体来说，主要研究了以下重要问题：.（1）建立多物种具有交互作用复杂分枝模型，研究发生函数族零点的性质和延拓性质，在发生函数族的基础上构造并深入研究一类特殊的偏微分方程组的性质，解决了这类过程的存在唯一性、吸收性质、常返性、遍历性等问题；研究了带移民的二维分枝过程，得到了正则性判别准则；研究了带灾难和拯救的n维分枝过程，得到了有效灾难发生时间的概率分布的Laplace 变换的表达式,同时，得到了有效灾难平均发生时间的渐近性质。.（2）深入研究带移民的多物种分枝－碰撞模型，解决了这一类模型的存在唯一性、灭绝概率、常返性和遍历性等重要问题；研究了一类具有多个吸收态的广义分枝模型，得到了吸收概率向量、吸收时间和爆炸时间的明确表达式。.（3）进一步研究具有移民与瞬态拯救的多物种复杂分枝模型，并深入讨论了过程的构造以及最小类过程的常返性和遍历性等问题；研究了n维带瞬态拯救和一般灾难的广义分枝模型，利用预解式分解方法解决了过程的存在唯一性问题，得到了遍历性、强遍历性及平稳分布等性质。.（4）进一步研究解决了n维带灾难的Markov 分枝过程、M^X/M/c排队模型的衰减性质和拟平稳分布问题；解决了控制M^X/M/c排队模型的遍历性和平稳分布问题。