退化Monge-Ampere 方程边值问题解的正则性研究

This project focuses on the regularity of solutions to the boundary value problems for degenerate Monge-Ampere equation, which arise from several aspects such as geometric analysis , optimal transportation. The difficulty of proving higher regularity is in: the resulting elliptic equation may be characteristically degenerate and its coefficients are only bounded after a partial Legendre transform on the solutions to the degenerate Monge-Ampere equation , but it is required for Schauder estimates that all the coefficients at least be continuous. To overcome this difficulty，firstly by introducing the Green function of the resulting degenerate linear elliptic equation and employing the key property that 1 is the coefficient of the solution's mean value formula having Green function as its kernel, we prove that the second derivatives of all the solutions are uniformly continuous, therefore all the coefficients have the uniform modulus of continuity which is independent of the solutions themselves; secondly replacing the usual Newton potential by the fundamental solution of the degenerate linear elliptic equation，we can establish the Lp estimates and then obtain Schauder interior estimates； lastly replacing the above fundamental solution by the fundamental solution or Neumann function of the degenerate linear elliptic equation over the half space, we can obtain Schauder boundary estimates for first and second boundary value problems for the degenerate Monge-Ampere equation respectively. and then the global regularity follows. Our global regularity result for second boundary value problems answers positively in special case the open problem proposed by Villani[V].

本项目研究退化Monge-Ampere (MA) 方程边值问题解的正则性, 该问题来自于几何分析，最优输运等领域。证明高阶正则性的困难在于：经部分Legendre 变换后得到的线性椭圆方程可能特征退化且系数仅是有界的, 但Schauder估计要求系数至少连续。为了克服此困难，首先通过引入退化线性椭圆方程的格林函数以及利用其解可表示成以格林函数为核且系数为1的平均值公式的特性，证明MA 方程所有解的二阶导数是一致连续的，从而得到所有系数具有一致即不依赖于解本身的连续模；其次用退化椭圆方程的基本解替代牛顿位势，建立Lp估计并得到MA 方程解的Schauder内估计；最后构造半空间上特征退化椭圆方程的基本解或Neumann函数替代以上基本解，分别得到MA方程第一和第二边值问题解的Schauder边界估计。关于第二边值问题的全局正则性结果, 在特殊情形正面回答了Villani[V]提出的公开问题.

退化的Monge-Ampere方程部分源于最优输运问题和给定曲率问题，该方程解的正则性是研究的焦点和难点。本项目分三个问题展开研究：问题1，研究cosmic strings方程解的分类问题；问题2，研究一类具有物理边界条件的趋氧性方程组（Toda系统）的定常问题；问题3，研究退化性对线性化后Monge-Ampere方程的系数的影响。关于问题1，在研究 cosmic strings方程解的分类问题时, 由于单调性公式失效, 我们改进和应用一些新的技巧, 通过研究稳定解的非存在性以及有限 Morse 指标解的非存在性, 证明了关于弱稳定解或者有限 Morse 指标解的Liouville-type定理；关于问题 2，我们考虑具有多奇源且与一般单李代数相关联的椭圆型 Toda 方程，特别是边界层厚度对边界层背景解的影响，我们给出了方程组解的非存在性。证明的主要工具是约化方法和 Pohozeav 恒等式, 关键的步骤是排除了高阶 Toda 方程组的爆破现象以及计算在爆破点的局部质量，在研究分数界的稳态和有限Morse指标解时，我们发展了关于一类Toda系统的解的单调性公式；应用该公式和技巧性的积分估计，稳态的齐次解的分类，以及爆破分析，建立了有限Morse指标解的Liouville-type定理，在研究具有周期边界条件的抛物型 sine-Gordon模型时，证明了一个基础性的最大值原理，该原理给出了解的先验的一致界估计；在一维的情形，对全部的有界稳态进行了完整的分类，且展示了几个显式解；在进行数值离散化时，在没有任何稳态化项的情形下，使用了一阶的IMEX和二阶的 BDF2 离散化，并且在近乎最佳的时间步长约束下，粗略地证明了数值格式的能量稳定性；在比较抛物型sine-Gordon 模型与标准的具有双井位势 的Allen-Cahn 方程时，该结果刻画和表明了两者之间的惊人的相似性。关于问题 3：我们利用Green函数，证明了 Monge-Ampere 方程 Dirichlet 边值问题的解的二阶导数内部一致连续模的先验估计。