基于信息熵理论的典型随机系统动力学行为的研究与应用

The information entropy plays an important role in describing the evolution, instability, disorder or confusion and the information transmission of stochastic systems. This project is mainly based on the information entropy theory to research the dynamic behavior and its application of typical stochastic dynamical systems and related problems. We will investigate the evolution of information and information entropy with time, space and other state variables of the stochastic dynamical system driven by different types of noise, and using the maximum entropy method to calculate the probability density function of the stochastic dynamical system (response), and the appoximate solutions and numerical solutions of stochastic differential equations with Poisson jumps and Fokker-Planck equations will be investigated respectively, and then we can analysis the transient properties and the changes of the probability density with time of stochastic dynamical systems, and further explore the dynamic behaviors of more complex stochastic dynamical system, such as information entropy evolution, P-bifurcation, the mean first passage time and non-equilibrium phase transition, etc. Meanwhile, we will study the stochastic resonance, stochastic bifurcation and stochastic chaos etc. problem from the perspective of the information theory, and the information entropy theory will be applied to study some practical systems such as biological systems, economic systems, network systems, etc. These studies will further enrich the research results of stochastic dynamics and promote the interdisciplinary research of the information theory and stochastic dynamics theory, and also play a positive role in promoting the research of stochastic resonance.

信息熵在描述随机系统的演变、不稳定性、无序性或混乱程度以及信息传递方面起着重要作用。本项目基于信息熵理论研究典型随机系统的动力学行为及其应用相关问题。考察不同类型噪声激励的随机动力学系统的信息和信息熵随时间、空间和其他态变量的演变规律，利用最大熵方法计算随机动力系统（响应）的概率密度函数，发展一套有关带跳的非线性随机微分方程以及Fokker-Planck方程的近似解法和数值解法，通过数值模拟分析随机动力系统的瞬态性质和概率密度随时间的变化规律，进一步探讨更为复杂随机动力系统的熵演化规律以及P-分岔、平均首次穿越时间和非平衡相变等复杂的动力学行为。同时从信息论的角度研究随机共振、随机分岔与随机混沌等问题，并将其应用到诸如生物系统、经济系统、网络系统等实际系统的研究中。本项目的研究将进一步丰富随机动力学的研究成果，推动信息理论与随机动力学理论的交叉结合，对随机共振的发展亦可起到积极的促进作用。

本项目按照预定的研究计划，对典型随机系统的动力学行为及其应用相关问题开展了系列研究工作，取得了如下研究结果：1）基于信息熵理论给出了一类随机系统熵变化率上界的解析表达式，刻画了非高斯噪声和正弦周期力激励下阻尼谐振子系统的信息熵演化规律和其微观动力学行为；利用信息熵衍生的测度方法计算了高斯噪声和非高斯噪声(Lévy噪声)激励的FHN神经系统的统计复杂度和标准Shannon熵，探讨了不同类型噪声对实际系统动力学复杂性和信息传递的影响作用。2）解决了高斯和非高斯噪声激励下双稳系统和Logistic系统非线性漂移Fokker-Planck方程的非稳态求解问题，讨论了系统非稳态概率密度随时间的变化规律，分析了系统的瞬态动力学特性；通过构建合适的Lyapunov函数，证明了带跳随机时滞Hopfield神经网络模型数值解的几乎必然指数稳定性；提出了模拟带跳随机微分方程系统模型的保正性数值方法：隐式平衡法，建立了保正性数值算法的收敛性理论。3）考察了FHN系统、周期势系统以及欠阻尼非对称双稳等典型系统的首次穿越时间，随机共振，噪声诱导相变（P-分岔）以及共振激活和噪声增强稳定性等动力学行为；将随机动力学相关理论方法进一步推广应用于关联高斯噪声和非高斯噪声激励的分段线性及非线性系统，给出了系统Fokker-Planck方程的稳态解，分析了系统的相变、平均首次穿越时间和随机共振现象；建立分解重构和分段混合随机共振系统，能够在强噪声背景下识别轴承早期故障特征。4）研究了不确定时滞系统的可达集估计和稳定性问题，通过构造适当的Lyapunov-Krasovskii泛函，推导了更一般时滞系统的稳定性判据；提出带有B-DA功能项的时滞传染病模型，得到了系统出现Hopf分岔和Hopf-Zero分岔的条件；探讨了一些新型混沌系统的控制和同步行为。上述研究进一步丰富了随机动力学的研究成果，促进了信息理论与随机动力学理论的交叉融合。本项目共发表学术论文39篇，其中SCI索引28篇，EI索引2篇。