一种基于减基原理的大规模问题快速数值方法及其应用研究

从提高大规模问题计算效率角度出发，应用减基原理对结构设计中的大规模问题进行快速计算并应用于车身结构设计中。快速数值方法的基本原理是应用迦辽金映射技术将大规模问题缩减为小规模问题，从而实现快速求解。该原理在进行自由度缩减后能较好地保持原系统的物理属性。首先，为了保证设计问题在模型缩减前后具备相同的参数特征，需要对设计问题的参数特征进行分析并提取，将设计问题的参数特征按照减基原理的要求进行表达。然后，通过正交的方法构造应用于迦辽金映射的全局近似子空间，同时保证子空间具有较高的构造效率。最后，将参数特征分析、子空间构造、高维系统缩减和低维系统求解结合起来，通过合理的误差控制方法初步实现快速计算。在研究过程中，针对大规模问题的固有特点提出相应的矩阵存储、方程组求解及矩阵运算等数值技术，进一步提高计算效率，同时增加可解决问题的规模。通过对该方法的研究，为大规模问题的快速计算提供新的途径。

基于减基法在解决一些工程问题中的优越性，在本研究中将其拓展至结构设计领域。使用MITC单元对结构线弹性问题进行基于减基法的快速计算以及误差的快速估计是本研究的主要内容。减基法在结构设计计算过程中的流程和效率是研究关注的主要问题。. 减基法作为一种计算方法可以对诸如Navier-Stokes方程、流体计算等参数系统进行快速而可靠的估计。在一些平面应力和应变问题中也得到了一些应用。本研究将首次把减基法的基本原理运用于基于有限元的结构计算过程中。理论上说，减基法在处理可估计事前误差的参数系统中有独特的优势。但是，在结构设计领域存在一些挑战。主要表现为参数化计算问题的获取和全局近似子空间的获取。由于有限元格式是一个数值方法，其中的设计参数是通过数值表达的，很难将有限元的矩阵格式进行显式参数化。结构参数，如尺寸、材料等，在矩阵中是离散表达的，在矩阵生成之后不能直接更改。这样，减基法计算的基本要求将不再适用。如何高效构造全局近似子空间是另外一个挑战。通常情况下，全局子空间是通过自适应程序得到的，在基于有限元格式的计算中，该流程需要修改并调高计算效率。. 首先，提出一个将MITC4单元进行参数化的技术。由于MITC4单元的扭曲不敏感性以及在厚度减小时不含零能模式，因此在结构计算中可以使用厚度作为设计参数。MITC4单元首先被改写成参数映射分解的矩阵形式（具体步骤见论文），然后通过Galerkin映射将参数化的有限元变成一个缩减的计算形式。通过两个车身计算的示例对方法的精度进行评估，结果表明，相比于有限元方法的计算时间有大幅的减少。. 然后，该方法的研究将关注效率问题。主要的研究对象为子空间的构造效率。在实际操作中，构造子空间是一个较为耗时的过程。首先对不同构造方法的效率和计算成本进行了研究。结果表明，使用到自适应方法的子空间具有同样的精度，而计算成本取决于自适应算法的循环数。基于这个发现提出了既可以减少计算量又能够保证计算精度的构造方法。改进的构造方法以实验设计为开始、以自适应流程为结束。车身设计的例子用于对此方法进行验证。. 数值计算的结果表明了方法的有效性。在工程实际的计算中，该方法同样能应用到其他的有限单元类型中。