若干具有弱导数的新型计算方法的梯度重构

Polynomial Preserving Recovery (PPR), as a post-processing technique for continuous finite element methods proposed by the applicant, turns out to be a big success and thereby, has been adopted by COMSOL Multiphysics, a widely used commerical software. Based upon it, this project is going to generalize the technique to other numerical methods such as Hybridizable Discontinuous Galerkin methods, Mimetic Finite Difference methods, and Weak Galerkin methods. For each of methods aforementioned, two different types of PPR algorithm will be proposed and analyzed. Sound theoretical proof and numerical experiments on superconvergence of these algorithms will be carried out.

申请者提出的有限元后处理技巧--保多项式恢复型算子(Polynomial Preserving Recovery)在连续有限元上获得了极大成功，并已被商业软件COMSOL Multiphysics采用。 基于此，本项目计划将该技巧推广到混合间断元(HDG)、拟差分法(MFDM)和弱伽辽金法(WG)等数值方法。分别针对以上各种数值方法，我们计划构造和分析两种保多项式恢复型算法，并对这两种算法的超收敛性给出理论证明和数值验证。

本项目将有限元方法的超收敛理论扩展到弱Galerkin方法、有限体积法、间断Galerkin（DG）方法、以及谱方法，实现了对各种偏微分方程计算方法的超收敛现象的系统深入研究，取得了一系列新的有意义的理论结果。首先，我们研究了弱Galerkin方法和几类间断有限元方法的超收敛性质，从数值解中构造具有超收敛性质的恢复型梯度算子，完善了间断有限元方法中超收敛性质的理论结果。其次，在传统有限元方法的基础上，我们基于PPR梯度重构技术设计了许多新的数值方法，用于求解四阶偏微分方程以及相应的特征值问题，证明了近似解的超收敛性质。同时，对于分数阶微分方程以及Schrodinger方程数值解、非协调元求解特征值问题，我们进一步补充了关于超收敛性质的分析，得到了一系列原创性成果，大大丰富了科学计算中超收敛的理论，具有重要的理论意义和应用价值。..本项目完成了一系列高质量的学术论文，丰富了科学计算超收敛这一领域的研究成果。作为亮点，我们在2014，2015，2016发表的3篇关于DG方法超收敛的文章迄今为止的Google 引用已经接近100，并且还在逐月上升。..总体来说，我们已按照研究计划完成了研究目标。