Navier-Stokes方程的时空谱元法

The numerical solution for the Navier-Stokes equation is a widely concerned frontier and challenging research topic, which it is of important scientific significance and engineering value. In this project, for the Navier-Stokes equations, we design the spectral element methods with the characteristics, such as, the energy stability and the space-time spectral accuracy, and so on. By using scalar auxiliary variable method, the energy stable numerical scheme is developed. The reasonable space spectral element method is studied, the interior domain is divided by using the rectangular/hexahedral element grids, and the appropriate triangular/tetrahedral element grids are applied to the boundary. The suitable Jacobi-Galerkin spectral scheme is established on the element. The Petrov-Galerkin type element method is designed in time direction. The Chebyshev interpolation method is used in the computations of the nonlinear terms. The divergence-free base functions are fully considered and the base functions adapted to the time direction are also. An appropriate iteration technique is designed, the scheme is implemented in long time behavior calculation. In this project, we obtain the time-space spectral element method, which its numerical implementation is convenient and its numerical analysis theory is given, and some techniques and theories are provided for the application of spectral element method in fluid model. Visiting Scholar’ s the ability of the scientific research is trained, which make him be an academic backbone of Computational mathematics in his department and get him to do quality research.

Navier-Stokes(NS)方程的数值解法有着重要科学意义和工程价值，是广为关注的一个前沿和挑战性研究课题。发展稳定高效的数值解法使NS方程能更好解释自然现象。本项目对NS方程设计有能量稳定和时空谱精度等特色的谱元法。借鉴标量辅助变量法，发展能量稳定的数值格式。研究合理空间谱元法，内部用矩形/六面体单元网格划分，边界附近用适当三角形/四面体单元网格，单元上用合理Jacobi Galerkin型谱格式；设计适应时间方向Petrov-Galerkin型谱元法；非线性项用Chebyshev插值等拟谱方法。充分考虑空间满足divergence-free条件和时间方向的基函数；设计适当迭代技术，实现格式长时间计算。本项目获得便于实施的时空谱元法及其数值分析理论，为谱元法在流体模型的应用提供一些技术和理论；培养访问学者科学研究能力，并成为其单位计算数学领域学术骨干，带动他开展高质量研究工作。

Navier-Stokes方程对流体力学的发展有着重要的意义，其数值解法是广为关注的一个前沿且具有挑战性的研究课题。该项目的工作是围绕Navier-Stokes方程的时空谱元方法进行研究；通过访问学者与导师交流合作的形式，发展有效的Legendre tau时空谱方法；并证明格式的稳定性，以及给出收敛性分析理论。研究中注意到对非线性方程的时空谱方法，依赖Gronwall不等式，无法直接给出格式的稳定性和收敛性,因此，需探索新的数值分析技巧。首先，从抛物方程与Sobolev方程着手，对时间方向的逼近采用Legendre tau方法，结合空间变量使用Legendre Galerkin格式，构造Legendre tau时空谱方法以及其多区间格式。其次，在各向异性范数意义下，给出了数值格式的稳定性；由此得到了半离散格式的误差估计，并推导出全离散格式的误差估计。再次，对非线性常微分模型，给出了Legendre tau-Chebyshev数值积分法。基于非线性项分别满足全局Lipschitz条件和单边Lipschitz条件，给出了格式的误差估计。然后，结合空间离散的Legendre Galerkin-Chebyshev数值积分法，考虑Burgers方程的Legendre tau时空谱方法的稳定性，并推导出收敛性分析理论。最后，基于上述所给出的工作，对Navier-Stokes方程，提出了Legendre tau时空谱方法以及分析其稳定性与收敛性。该方法对速率项的时间变量采用Legendre tau方法逼近；对压力项的时间变量则采用Legendre Galerkin方法离散；对于空间方向的离散，利用Fourier Galerkin方法处理周期边界；而非周期边界则用Legendre Galerkin法逼近；对非线性项，采用Legendre(或Chebyshev)-Gauss插值算子逼近。考虑格式在各向异性范数下的稳定性；还分别考虑半离散格式和全离散格式的收敛性理论。此外，对时间区间进行划分，给出多区间Legendre tau时空谱方法以及其数值分析理论。. 项目组对时空谱方法的研究取得了一些新的结果，完成了学术论文1篇,另外2篇也在准备中；访问学者在导师悉心指导下其科研能力得到了一定的提高，并入选广西高等学校千名中青年骨干教师培育计划培养对象；最终完成了项目拟定的目标。