Hamilton系统的辛几何算法和对称算法的定性研究

Based on Feng's theory on formal vector fields and formal flows, and also B-series theory, we devote to further study of the longtime pendent and newly posed important hard problems on theoretical analysis of symplectic methods and symmetric methods for Hamiltonian systems, such as "convergence of the formal energies of symplectic methods" and "conjugate-symplecticity of symmetric Runge-Kutta methods".

基于冯康形式向量场、形式相流理论和B-级数理论，深入研究Hamilton系统辛几何算法和对称算法理论方面一些悬而未决的和新近提出的重难点问题，如"辛算法形式能量的收敛性"和"对称Runge-Kutta方法中共轭辛格式的存在性"。

该项目中，我们在Hamilton系统辛几何算法和对称算法的理论分析及其在等离子体物理中的应用方面主要获得如下结果：.1. 形式能量在Hamilton系统的辛几何算法中扮演着无可替代的的重要角色，然而几十年来其收敛性问题一直悬而未决。我们证明二阶对称的中点格式的形式能量不收敛，而且把这个结果推广到其它Runge-Kutta方法的修正微分方程。.2. 不依赖于时间的磁场中带电粒子的回旋中心动力学归为一个非正则的Hamilton系统。对回旋中心的正则描述自然具有理论和实际两方面的重要性。我们给出了回旋中心正则化的一般程序，它可由关于只依赖于平行速度 u 的小变量 ε 的一个级数递归地表示。我们也首次实现了回旋中心动力学的正则辛模拟。.3. 没有一个普适的方法来构造任意非正则Hamilton系统的K-辛算法。我们阐明了哪些情形下可以采用分裂方法构造显式K-辛算法，从而克服了因寻找坐标变换和正则辛模拟带来的难度和复杂度。.4. Lorentz系统是电磁场中带电粒子运动的基本方程组，它是保体积的。我们对一般自治系统构造了新的一族对称格式，而对Lorentz系统它们又是显式和保体积的。这些格式是单步的，避免了著名的两步Boris算法因初值引起的寄生误差。.5. 我们将对称的和辛的Runge–Kutta方法分别直接用于回旋中心动力学的非正则Hamilton系统。数值模拟的结果表明：这两个算法在保持模拟精度和近似能量方面比高阶非对称非辛Runge–Kutta方法有压倒性优势；在给定模拟精度的情况下，它们远比用于正则化系统的同阶中点格式要快得多。