Volterra型算子、面积积分算子的研究及其推广

In the theory of Hardy spaces of analytic fucntions on the unit disc,the general area operators and Volterra operators are important ones and a lot of attention is paid to them.Their boundedness and compactness on Hardy spaces are characterized by Carleson measures.In the project, one of the main problems is to introduce area operators and Volterra operators to the function spaces defined on the Euclidean space and its unit sphere. We will plan to study the boundedness and the compactness of on integrabl function spaces,Hardy spaces and function spaces being of bounded mean oscillations by using Carleson measure. Since the data used may be given discretely, its varying is described by difference. The other problem is to introduce a more generalization of area operators by replacd the derivative by difference in the definition of the classical one and give the characterization of its boundedness and compactness on the function spaces above. In the project, we will apply comprehensively the methods used in harmonic analysis and analytic functions to study the problems. Since the area operator defined by difference is a new one, it may extend the range of study in harmonic analysis and is possible to give some new ideas from the research.

解析函数 Hardy空间上的广义面积积分算子和 Volterra算子是两类重要算子,其有界性和紧性都可以用 Carleson型测度来刻画,关于它们的研究一直备受关注。将上述两类算子引入到定义在欧氏空间及其单位球面上的函数空间中，系统地研究它们在可积空间、实Hardy空间和有界振荡型空间等函数空间上的有界性和紧性特征，采用Carleson型测度来刻画有界性和紧性条件，是本项目主要研究的问题之一。由于离散的问题只能由差分的方法来讨论，将由导数定义的面积积分算子改变为由差分定义的更为广泛的（更有应用价值的）面积积分算子，研究新定义的算子的各种性质，是本项目主要研究的另外一个问题。综合应用调和分析和复分析的方法是本项目的一个特点，而用差分定义面积积分算子是一个全新的研究对象，因此，这些研究将扩展调和分析的研究方法和范围，极有可能带来方法和结果的创新。

本项目主要研究下列问题. 一、关于广义面积积分算子.二、Hardy算子研究.三、Hardy-Littlewood极大函数的问题. 四、多线性算子的问题. 五、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式问题.六、极大函数交换子在变指数空间中有界性.对于问题一，用Carleson测度做等价刻画欧氏空间上广义面积积分算子在可积空间上的有界性和紧性，这种刻画还用到广义多线性g_(μ,λ)^* 函数的有界性，后者在解析函数的情形也是一个新的结果.单位球面上主要利用一个共形变换的Jacobi式，构造一类p次积分的量，用这些量的刻画函数空间与Carleson测度之间的关系. 关于Hardy算子，我们集中于在乘积空间上的推广形式、平均值型、平均值型多重复合的Hardy型算子双幂权(1,q)型估计，得到权函数幂次之间的关系，以及最佳常数.关于极大函数问题，我们得到截断中心和非中心极大函数的算子范数与经典的极大函数的范数相等，即是回到算子范数，两者之间没有差异性. 多线性算子问题，我们得到具有旋转不变核的多线性积分算子的范数，多线性CZ算子核满足Dini条件算子在端点的弱型有界性估计，交换子的弱型估计. 关于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式问题，证明Stein和Weiss早期给出的幂权条件是一个充要条件，同时给出在一些特殊情形的算子范数的精细计算. 研究经典的Hardy-Littlewood极大函数、sharp极大函数和分数次极大函数，与BMO函数生成的交换子在变指数可积空间 L^p(x) (R^n) 上有界的充要条件，我们得到，当指数满足对数Lip条件下，交换子有界等价于函数b属于关于指数p(x)的一类平均振荡集合. 这些工作对于丰富调和分析的理论，有着重要的意义.