细分函数的向量稳定性

With more and more the applications of wavelet analysis in image processing, data compression, pattern recognition and many other fields, people need to construct the wavelets with various properties, for example, orthogonal wavelets, compactly supported wavelets, smooth wavelets, symmetric wavelets etc. Since there exist defects by using scalar scaling functions to construct wavelets, constructing wavelets with refinable vectors has become the research focus. The stability is an expected property for refinable functions, which is widely considered in the study of refinement equations. Deep research of this property will solve the hot topic. But now almost all the study is on the stability of entries of refinable vectors. Instead of studying the stability of entries of refinable vectors, we study the stability of refinable vectors themselves where they are considered as elements of super Hilbert spaces. We call this kind of stability the vector-stability. The vector-stability plays an important role in the construction of vector wavelets. For vector-stability, we mainly study the following four parts： the vector-.stability of one variable refinable vectors, the vector-stability of multivariate refinable vectors, the vector-stability of one variable refinable matrice, the vector-stability of multivariate refinable matrice.

随着小波分析在图像处理、数据压缩、模式识别等领域越来越多的应用，人们需要构造具有各种性质的小波，例如正交小波、紧支撑小波、光滑小波、对称小波等。近年来，鉴于标量尺度函数构造小波存在的缺陷，用向量细分函数构造小波成为人们研究的热点。稳定性是细分函数的一个非常重要的性质，对此性质的深入研究将进一步解决这个热点。但目前几乎所有的学者研究的是向量细分函数各个分量的稳定性，本项目提出一种新的向量细分函数稳定性的概念，即把向量细分函数看做超级 Hilbert 空间的一个元素来研究其稳定性，我们把这种稳定性叫做向量稳定性。细分函数的向量稳定性对向量小波的构造起到了至关重要的作用。对于向量细分函数的向量稳定性，我们主要研究以下四个方面：一元单生成向量细分函数的向量稳定性、多元单生成向量细分函数的向量稳定性、一元多生成向量细分函数的向量稳定性、多元多生成向量细分函数的向量稳定。

本项目致力于一元单生成向量细分函数的向量稳定性、多元单生成向量细分.函数的向量稳定性、一元多生成向量细分函数的向量稳定性和多元多生成向量细分函数的向量稳定性的研究。本项目大体按计划进行，对这些问题给出了深刻的研究，争取对向量细分函数的向量稳定性给出好的容易验证的充分必要条件，并且利用这些研究结果构造出性质更优越的小波。本项目研究的内容是一系列的问题，目前初步完成一元单生成向量细分函数的向量稳定性（发展了已取得的成果，去掉了已取得成果的前提条件——“一致可积”）。同时，对于多元单生成向量细分函数的向量稳定性，项目主持人通过与南开大学孙文昌教授、南开大学刘锐博士和天津理工大学刘蓓博士合作探讨已取得初步进展。项目主持人将会继续进行项目课题的后续研究，努力解决这一系列备受国际关注的问题。