弱KAM理论与哈密顿动力系统的大范围行为

Hamiltonian dynamical system is one of the most important research fields in nonlinear science and dynamical system. This project focuses on many hot issues in three aspects such as weak KAM theory, a wide range dynamics of singular Hamiltonian systems and the average method of Hamiltonian system. The content includes: the regularity, convergence and long time behavior of solutions for weak coupling Hamilton-Jacobi equations; the large dynamical range behavior of solutions related to resonance and stability for singular Hamiltonian systems, including resonance and chaos of pulse Hamiltonian systems with singularities, periodic and quasi-periodic motions of singular Hamiltonian systems with changing-sign potential; the average theory of infinite dimensional Hamiltonian systems and periodic behavior and stability of contact Hamiltonian systems... The research of this project is to eliminate the non smoothness and singularity of the system by means of averaging and time-space transformation, reduce the high dimensional problem to the plane mapping, and introduce the stochastic framework to establish the solution semigroup. The methods are based on the implicit variational principle, the mean theory, the twist theorem, the weak KAM theory and the topological and qualitative analysis. Starting from the problem, we explore the research scheme. Through the study of the selected problems, we explore and understand the large-scale behaviour dynamics mechanism of the Hamiltonian systems, enrich and perfect the content of the weak KAM theory and the Hamiltonian theory.

哈密顿动力系统是非线性科学、动力系统中极其重要的研究领域之一。本项目研究围绕弱KAM 理论，奇异哈密顿系统的大范围动力学，哈密顿系统的平均法等三个方面的诸多热点问题展开，包括：弱耦合Hamilton-Jacobi方程解的正则性、收敛性以及长时间行为；哈密顿动力系统的解与共振及稳定性相关的大范围动力行为，包括奇异脉冲哈密顿系统解的共振与混沌，变号位势奇异哈密顿系统的周期与拟周期运动；无穷维哈密顿系统的平均法以及接触哈密顿系统的周期行为与稳定性。..本项目的研究通过平均和时空变换消除系统的非光滑和奇异性，把高维问题约化到平面映射上，引入随机框架建立方程的解半群。方法上综合运用隐式变分、平均理论、扭转定理、弱KAM理论以及拓扑、定性分析等手段。从问题出发，探索研究方案。通过所选问题的研究，探索和理解哈密顿系统解的大范围行为动力学机制，丰富和完善弱KAM理论和哈密顿系统理论的内容。

哈密顿动力系统是非线性科学、动力系统中极其重要的研究领域之一。本项目研究围绕弱KAM 理论与接触哈密顿系统，奇异哈密顿系统的大范围动力学等诸多热点问题展开，研究成果包括以下三个方面：. （1）在弱KAM 理论与接触哈密顿系统方面：建立了非完整约束问题与接触哈密顿系统之间的联系，推导出耗散的Eluer-Lagrange方程；刻画了接触哈密顿系统不变集上的轨道动力学性质，给出了有界和无界轨道、同宿轨与异宿轨、周期轨的存在性；基于接触哈密顿系统与耗散拉格朗日系统之间的联系，给出了将耗散微分系统转化为哈密顿系统的一般方法。. （2）在奇异哈密顿系统的大范围动力学方面：证明了任意多项式扰动下点涡系统奇异点的稳定性，完整地给出了三点涡系统轨道的全局性相图；将半平面上的系统转化到全平面上来考虑，运用Poincare-Birkhoff扭转定理来证明了脉冲与碰撞系统周期解的存在性；对于扰动的空间各向异性开普勒问题，证明了指定能量曲面上周期轨的存在性。. （3）在平均方法及应用方面：综合李雅普诺夫-施密特约化方法和拓扑度理论，推广了小参数系数的平均理论；利用正交变换将系统约化为低维系统，证明了四粒子含时FPU链周期轨道的存在性；应用局部平均定理，证明了二组分玻色-爱因斯坦凝聚系统非平凡相调幅波的存在性和多解性；给出了周期变系数带导数的非线性薛定谔方程大振幅周期解和小振幅周期解及其旋转数估计。. 本项目方法上综合运用隐式变分、平均理论、扭转定理、弱KAM理论以及拓扑、定性分析等手段，发展了非光滑和奇异哈密顿动力系统的大范围变分方法，探讨和理解接触哈密顿动力系统解的动力学机制，丰富和发展了弱 KAM 理论的内容。