玻色-爱因斯坦凝聚体的非线性动力学研究

Bose-Einstein condensation is a very strange quantum phenomenon. Researches on nonlinear dynamics of Bose-Einstein Condensates are of great significance, which help us to control the movement of the condensates, discuss the collapse and instability of Bose matter and use the condensates effectively. Such have always been the hot topics. This project takes Gross-Pitaevskii equation as a model, explicates the qualitative dynamics via the geometric point of view, and transform the problems into studying area-preserving mappings and symplectic homeomorphisms. Based on topological methods, nonlinear vibration, KAM method and qualitative analysis, this project is to study the dynamic behavior of quasi one-dimensional and multi-component Bose-Einstein condensates with periodic or quasi periodic external potential, including the existence, multiplicity and stablility of periodic and quasi-periodic modulation amplitude waves. Related properties of the solutions in the inherent form such as the invariant tori and boundedness will be investigated. Combining with the average method and the Hamiltonian perturbation theory, we will give the higher order approximation for solutions, and numerically simulations will support the theoretical results. By the researches of the selected problems, we will understand the dynamic mechanism of a wide range behavior and develop qualitative methods for singular nonlinear systems.

玻色-爱因斯坦凝聚是一个非常奇异的量子现象，玻色-爱因斯坦凝聚体非线性动力行为的研究对于如何有效控制凝聚体的运动、讨论物质玻色的塌缩与失稳以及合理有效利用凝聚体都具有重要的意义,该问题一直是研究的热点。 本项目以Gross-Pitaevskii方程为模型，用几何的观点来理解玻色-爱因斯坦凝聚体的动力学行为，把问题转化为保面积映射与辛同胚的研究，从理论上运用拓扑、非线性振动、KAM方法和定性理论分析等综合手段来研究周期和拟周期外势下的准一维和多组分玻色-爱因斯坦凝聚系统的动力学行为，对周期和拟周期调制振幅波的存在性、多解性和稳定性进行研究,以及对系统固有形式解的相关性质进行讨论，包括不变环面、有界性等。在理论的基础上，结合平均法和哈密顿扰动方法给出解的高阶近似，并进行数值分析。 本项目的研究有助于理解奇异非线性系统的大范围行为的动力学机制，发展奇异非线性系统的定性方法。

玻色-爱因斯坦凝聚是一个非常奇异的量子现象，玻色-爱因斯坦凝聚体非线性动力行为的研究对于如何有效控制凝聚体的运动、讨论物质玻色的塌缩与失稳以及合理有效利用凝聚体都具有重要的意义,该问题一直是研究的热点。.本项目以玻色-爱因斯坦凝聚系统为应用背景，立足于从理论上用几何、拓扑的方法以及KAM 理论来讨论玻色-爱因斯坦凝聚体的动力学行为，解决实际问题，理解哈密顿系统的大范围行为的动力学机制，发展哈密顿动力系统的数学方法。研究成果主要包括三个方面：.（1）玻色-爱因斯坦凝聚系统中非零角动量调制振幅波的存在性与多解性。结合哈密顿扰动理论和平均法，我们证明了周期势和拟周期势下准一维玻色-爱因斯坦凝聚系统中具有非零角动量调制振幅波的存在性与多解性，并给出了周期与拟周期调制振幅波的数值近似以及固有物质波的拓扑分类和波的恰当表示式。我们采用了局部平均的思想，克服了无理相关频率的困难，得到了多组分玻色-爱因斯坦凝聚系统的动力学性质。.（2）哈密顿系统周期与拟周期行为、解的有界性。在哈密顿系统周期解方面，我们给出了研究周期解存在性的一类全新方法。即通过系统Lagrange作用量的极小轨道性质来判断周期解的存在性；在奇异哈密顿系统方面，我们给出了径向对称系统的周期解、拟周期解和无界解存在性条件，并证明了相对场方程Littlewoods 解的有界性问题；在脉冲哈密顿系统方面，我们证明了带有不定权的超线性Hill型方程周期解、对称周期解的存在性与多解性。这方面的工作，无论从方法还是结果上都具有原创性。 .（3）弱KAM理论与非周期扭转映射。在Mather理论中，扭转映射是研究的重要对象，我们证明了指数型生成函数所对应非周期扭转映射的完全轨道的存在性；对于R^N上可逆的自治哈密顿量，我们给出了对应Hamilton-Jacobi方程解半群收敛的充分必要条件，对粘性解的收敛性给出了比较完整的刻画。