纽结不变量的新构造方法及复杂纽结的局部性质

Knot invariants is an important tool in knot theory, and also a main object been studied. The applicant invented new ways to generalize classical polynomial type knot invariants in [Y1][Y2] by using multiple skein relations according to different cases. The applicant hopes to achieve the followings. 1. Construct knot invariant by coloring regions from knot diagrams, and find some applications.2. Construct knot invariants whose skin relations contains information from coloring arcs and regions from knot diagrams. Check whether it detects knot orientation. 3. Construct three manifold invariants. 4. Construct knot invariant which depends on the ordering of resolving crossing points. 5. Construct knot invariants by algebraic geometry tools, and find some applications. 6. Calculate the Grobner basis of the ring appeared in the application's knot invariant, or find some homomorphisms to easier rings. 7. Study when a given tangle embeds into a link, give a criteria. 8. Study when a given tangle is essentially knotted, linked, and find criterion. 9. Study the basic properties of tangle eqations. 10. Construct polynomial type invariants of tangles.

纽结不变量是纽结理重要的工具，同时也是主要被研究的对象之一。申请者最近的工作[Y1][Y2] 对于纽结交叉点的不同类型采用多个不同的拆接关系，推广了纽结不变量的构造方法。在此基础上，本项目可预期的结果如下：1.构造由区域染色得到的一般不变量，并寻找它的应用。2.得到拆接关系包含以下信息的纽结不变量：纽结各弧段染色，各区域染色。希望它能识别纽结的定向。3. 构造三维流形的不变量4. 构造依赖交叉点解开次序的纽结不变量。5.构造由代数几何得到的新纽结不变量并寻找其应用。6.已有纽结不变量得到的代数很复杂，计算它的Grobner基，或得到较容易使用的替代品。7．研究tangle T可以嵌入链环L的条件，判别方法。8. 研究一般tangle为本质打结、链接的判定条件。9．研究一般tangle方程的基本性质。10.将经典的纽结多项式推广到tangle上。

三维流形是拓扑学中的一个重要分支。纽结理论是其最活跃的分支之一。而纽结不变量是研究纽结的重要方法，也是主要的研究对象之一。已有的纽结不变量区分纽结的能力较强，但还远不令人满意。.（1）对于一个交叉点我们得到多种新的解开方法。经典的不变量是由一个拆接关系式定义，我们使用多个拆接关系式定义。结合这两方面我们得到一种纽结不变量，它是HOMFLY和Kauffman2变元多项式的推广。利用“钻石引理”，可以大大化简了该不变量的计算。（2）我们由区域染色得到的纽结不变量，它是一种新的代数结构。由它也可以构造一个矩阵，其各阶主子式的公因子也是一个纽结多项式不变量。它与Alexander多项式不同，含两个变元。（3）Sam Nelson构造了Biquandle Brackets，它取值在一个有限环中，能够区分Homfly多项式不能区分的一些纽结对。我们得到一种括号多项式，是Nelson不变量的推广。它有无限种取值，此外它可以自然地推广到虚纽结。（4）此外，在Kauffman括号的定义式中引入虚交叉点解法，我们也得到了Kauffman括号的一种推广。该不变量是必须利用虚纽结才能对经典纽结定义。..Heegaard分解是研究三维流形的主要手段之一。（1）在存在性方面，我们证明，对于任意的n ≥ 2，g ≥ 2，存在无穷个双曲三维流形，具有亏格为g，距离为n的Heegaard分解。（2）在稳定化方面，我们证明，若一个Heegaard分解的距离大于5，则对其做边界稳定化后得到的三维流形是不可稳定化的。从而得到这样的例子，M具有两个不可稳定化的Heegaard分解，它们具有不同的亏格。若距离大于8，则对其做双边的自融合后得到的eegaard分解是不可稳定化的，不可约的。 （3）在三维流形粘合方面，我们证明，对于两个不可稳定化的Heegaard分解沿平面的子曲目粘合得到的Heegaard分解是不可稳定化的。对于一个不可稳定化的Heegaard分解沿平面的子曲目粘合得到的Heegaard分解是不可稳定化的。（4）对于曲线复形，项目组成员还推广了J.Hempel的构造，定义了新的距离。并且在新的距离下，证明了曲线复形是 δ双曲的。