等变度理论在时滞微分方程多重具有共同最小周期的周期解问题中的应用

By making use of equivalent degree theory, this proposal studies the problem of the existence and common minimal period of multiple periodic solutions to delay differential equations. Specifically, we build the variational framework on suitable Hilbert space for delay differential equations and translate the problem of the existence of multiple periodic solutions of delay differential equations to that of the existence of multiple critical points of variational functional. By making use of equivariant degree theory, we build the existence multiple critical points theorems for variational functional and apply those theorems to study the existence of multiple periodic solutions of delay differential equations. Also, by estimating the energy of variational functional, we can prove the common minimal period of multiple periodic solutions. At last, we use those results to prove that there exists n and only n periodic solutions to delay differential equations. The studying on the problem of periodic solutions of delay differential equations, provides new methods for the studying of periodic oscillations in various kinds of delay differential equations models in population dynamics, economics and automatic control theory. Thus such a proposal is meaningful in theory and useful in applying.

本项目主要应用等变度理论研究时滞微分方程多重周期解的存在性及其共同最小周期等问题。具体来说，对于时滞微分方程，在适当的Hilbert空间上建立变分框架，把时滞微分方程多重周期解的存在性问题转变为变分泛函多重临界点的存在性问题，其次，应用等变度理论，建立含有时滞的变分泛函的临界点存在性定理，并应用于时滞微分方程多重周期解的存在性研究，再次，通过估计泛函能量研究多重周期解的共同最小周期，最后，综合应用这些结果证明时滞微分方程周期解的唯n性猜想。开展对时滞微分方程的周期解问题的研究，为人口动力学、经济学及自动控制论中出现的各类时滞微分方程模型周期震荡的研究提供新的方法。这项研究既具有重要的理论意义，又具有广阔的应用价值。

本项目主要应用临界点理论、等变度理论研究时滞微分方程、Hamilton系统多重周期解的多重性及其共同最小周期等问题。具体来说，对于时滞微分方程，在适当的Hilbert空间上建立变分框架，把时滞微分方程、Hamilton系统多重周期解的存在性问题转变为变分泛函多重临界点的存在性问题，其次，应用临界点理论、等变度理论，建立含有时滞的变分泛函的临界点存在性定理，并应用于时滞微分方程多重周期解的存在性研究，再次，通过估计泛函能量研究多重周期解的共同最小周期。开展对时滞微分方程的周期解问题的研究，为人口动力学、经济学及自动控制论中出现的各类时滞微分方程模型周期震荡的研究提供新的方法。这项研究既具有重要的理论意义，又具有广阔的应用价值。