接触几何和无限远处的临界点理论

本项目主要利用无限远处的临界点的观点和Morse理论，对三维紧流形上的接触形式的Reeb周期轨道以及接触同调群进行研究。特别地，本项目将研究三维球面上的Gonzalo-Verela形式的Reeb周期解及Legendrian曲线的动力系统和接触同调群。本项目还将对接触同调群在小扰动下的稳定性进行研究。Reeb周期轨道的存在性是经典力学中哈米尔顿矢量场周期轨道存在性的自然推广，具有重要的理论意义。接触同调群是理解Reeb周期轨道的存在性和结构的重要工具。由于所研究的变分问题几乎处处不满足Fredholm性质，这是一个非常困难的变分问题。本项目的研究成果有望有效地推动接触几何和变分理论的发展，有重要的理论价值。

我们改进了A.Bahri 在他1996的专著中所定义的一个拟梯度流。这个拟梯度流定义在三维紧切触流形的对偶Legendrian曲线的一个子空间上。我们还研究了这个拟梯度流的各种估计和单调性公式。这个拟梯度流的一个最重要的性质是，沿着这个曲线流，一个闭合曲线或者会流到这个切触形式所对应的Reeb周期轨道上，或者会有爆破现象，流到一类非常特别的曲线上，一个具有分层流形结构的空间，我们称这类曲线为无穷远处的临界点。.这个拟梯度流还有一些其它的重要性质，是我们整个框架的基础。我们对无穷远处的临界点的各种性质，例如，怎样计算它们的Morse指数等已经有了很好的理解。.同时，我们还研究了这个对偶Legendrian曲线的子空间的拓扑结构。我们证明了，在v旋转充足的条件下，这个子空间和整个流形的路径空间具有同样的同调群和同胚群，也就是说它们是弱同伦等价的。这个表明了这个对偶Legendrian曲线的子空间的重要性，我们的框架是研究接触几何的一个正确的框架。只要理解了这个子空间的性质，我们就可以了解整个路径空间的拓扑。