非线性最优控制问题的误差估计及超收敛

Optimal Control problems plays a very important role in many science and engineering application, such as, temperature control problems, air pollution control problems, Stokes flow control problems, and electrochemical machining design prblems, etc. So, it''s significant to study the efficient numerical method for these problems. There have been extensively studies on linear optimal control problems , but few for nonlinear optimal control problems. In this work, we will study the nolinear optimal control problems. At first, we will transform a minimization problem to a coupled system of state equation, co-state equation and a variational inequality. Using the linearization methods for nolinear prolems which were presented by F. A. Miliner and E. J. Park, we transform this problems to a linear systems. Combining some techniques to deal with ellliptic and parabolic eqautions, we derive the superconvergence properties for nonlinear elliptic and parabolic optimal control problems. Basing on Helmoholtz decomposition and Bubble function, combilning the linearization method for nolinear problems and a priori regularity estimates for the auxiliary problems, we obtain a posteriori error estimates for nonlinear optimal control problems.

最优控制问题在很多领域都具有广泛的应用,如温度控制问题、空气污染控制问题、Stokes流控制问题和电气化学机械设计问题等。因此，研究这类问题的高效的数值方法就显得非常重要。目前大量工作主要集中在线性最优控制问题，而对于非线性最优控制问题的文献相对比较少。本项目主要研究非线性最优控制问题。我们将利用变分原理，将非线性最优控制问题转变为求解状态方程、对偶状态方程以及变分不等式三者的联立系统，针对方程的非线性，利用Miliner和 Park提出的非线性问题的线性化方法，将我们讨论的问题简化成线性系统，并利用椭圆及抛物方程有限元解的先验误差估计和超收敛结果，得到非线性最优控制问题的超收敛结果。然后利用Helmoholtz分解、Bubble函数等思想，并结合一些非线性误差的线性化技巧和一些辅助非线性方程的先验误差估计，得到非线性最优控制问题的后验误差估计。

最优控制问题在现实生活中广泛存在，如温度控制问题、空气污染控制问题、Stokes流控制问题和电气化学机械设计问题等等。因此研究这类问题的高效的数值计算方法就显得非常重要。目前已有很多的数值方法可以用来求解最优控制问题，而有限元方法是其中应用最广泛的一种。本项目主要研究最优控制问题的误差估计及超收敛。首先利用变分原理，将最优控制问题转变为求解状态方程、对偶状态方程以及变分不等式三者的联立系统，针对方程的非线性，利用Miliner 和 Park 提出的非线性问题的线性化方法，将我们讨论的问题简化成线性系统；由于控制变量与状态变量具有不同的正则性，我们采用不同的有限元空间来逼近。其中，对控制变量采用分片常数逼近，对状态变量采用分片线性函数逼近，通过对最优控制问题的一些合理假设，并引入中间变量将误差分解成几部分来考虑，我们得到了线性抛物最优控制问题全离散格式下的超收敛估计，以及非线性抛物最优控制问题半离散格式下的超收敛估计。