Fokker-Planck算子和Witten Laplace算子的谱分析以及Boltzmann方程弱解的正则性研究

In this project we will investigate the following two topics. (1) We make use of the nilpotent Lie group techniques and the multiplier method, to obtain the compactness criteria for the resolvents of Fokker-Planck operator and Witten Laplacian, and furthermore to prove Helffer-Nier's Conjecture for quite general potentials. (2) We will explore the higher oder global regularity of weak solutions and the sharp Gevrey regularity of strong solutions to nonlinear Boltzmann equation. Here we focus on the spatially inhomogeneous Boltzmann equation without angular cut-off.

本项目拟开展的研究工作包括：(1) 利用幂零李群技巧以及乘子方法建立 Fokker-Planck 与 Witten Laplace 算子预解式紧性的判别法则，并且对于一般的势能函数验证 Helffer-Nier 猜想。(2) 非线性Boltzmann 方程弱解的高阶正则性以及经典解的最佳正则性问题，这里考虑的是空间非齐次情形，并且碰撞算子没有角截断函数。我们的预期目标是得到有界弱解的全局Sobolev正则性以及经典解的最佳Gevrey正则性。

本项目主要研究 (1)Fokker-Planck与Witten Laplace算子的谱性质。Fokker-Planck算子是非自拌算子，与自伴Witten Laplace算子相比较， 对于非自伴算子而言目前还没有一般的谱理论, 关于非自伴Fokker-Planck算子谱分析的工具非常少。 我们主要考虑带电势能以及电磁场的Fokker-Planck算子的最佳亚椭圆估计、Witten Laplace算子的半经典分析，从而建立这两类算子预解式的紧性判别法则。 通过上述新的判别法则，我们可以回答统计物理与随机过程中的一个基本问题: 在什么条件下，Fokker-Planck方程与Witten Laplace方程的Cauchy问题解是指数趋近稳态解的? (2) Boltzmann方程弱解的正则性。Boltzmann方程及其相关模型(Landau方程、线性化方程等)是统计物理和动理学方程中的基本模型。这类方程由于其复杂性(主要是非线性和退化性)给数学研究带来很多的困难和挑战，最近几十年Boltzmann方程弱解的正则性以及唯一性一直是动理学方程的热门课题。本项目在扰动框架下研究Boltzmann方程弱解的正则性，我们首先建立了线性化的Boltzmann碰撞算子的象征运算; 基于此象征运算，我们证明了非线性Boltzmann方程弱解解的Gevrey光滑性效应。我们的结果将有助于研究Boltzmann方程弱解的正则性。(3) Prandtl型方程在Gevrey空间中的适定性。在有界区域中，非滑动边界条件下 Navier-Stokes方程的粘性极限问题至今仍是流体力学中极具挑战性的难题，到目前为止仅有部分结果(例如解析初值、稳态流以及Gevrey初始值等),其中主要的困难在于由于粘性的作用而在接触面附近出现的Prandtl边界层。Prandtl边界层理论是100多年流体力学发展的重要基石。本项目主要对于没有任何结构性假设条件的初始值，证明了几类Prandtl型方程在Gevrey框架下的适定性结果。