Riccati型伪势与Backlund变换及相关的非局域对称

During the past decades the developments in mathematical physics show that the completely integrable systems of nonlinear partial differential equations have very rich mathematical structures. The Riccati chain plays an important role in the study of soliton and integrable system. With the aid of symbolic computation software Maple, this project investigates the higher-order Riccati pseudopotentials and Backlund transformations, from which more integrable properties with their relations can be given. At the same time, the related nonlocal symmetries can be obtained, under which new solutions and new integrable models both in finite and infinite dimensions can be generated. At last, the above theories are applied to the equations which have important physical significance, from which the physical phenomenon and physical laws can be got explanations.

非线性数学物理在过去几十年的发展中表明非线性发展方程存在着非常丰富的数学结构，尤其是可积系统存在着许多数学特征。Riccati链凭借自身的性质在孤立子与可积系统理论中发挥着重要作用。借助于符号计算软件Maple，本项目主要研究非线性发展方程的高阶Riccati型伪势与Backlund变换，以给出方程的诸多可积性质及相互关系，同时给出其对应的非局域对称，并利用非局域对称给出方程的新解及构造新的有限维与无限维可积模型。最后将该理论应用于具有重要物理意义的方程，以解释一些物理现象与物理机制。

本项目主要研究了非线性发展方程的重要可积性质与精确解。项目进行期间将非线性发展方程的Riccati型Backlund变换推广到了变系数与非等谱的情形，同时应用于两个重要方程，得到了其Lax对与无穷多守恒律等重要可积性质；开发了计算非线性发展方程双线性形式的maple软件包，该软件包扩展以前的软件包，并且可以得到双线性形式的Backlund变换与Lax对等重要可积性质；构造了物理中具有重要应用意义的Kundu-Eckhaus方程与Manakov方程的广义Darboux变换，并由该变换得到了这两类方程的各种形式的精确解，其中包括亮、暗孤子解与怪波解等，同时研究了他们之间的相互作用。