曲面上保面积同胚在退化且非双曲不动点附近的动力学性质

We would like to focus on the dynamics near the degenerate and non-hyperbolic isolated fixed point of area-preserving surface homeomophisms. We hope to prove Frederic Le Roux’s Conjecture about the existence of periodic orbits near the degenerate and non-hyperbolic isolated fixed point of area-preserving surface homeomophisms, to get a generalization of Poincare-Birkhoff type theorem as a corollary, and to give an answer in dimension two to Hingston’s question whether a topologically degenerate fixed point of the Hamiltonian dynamical system on the 2n-torus is the C^0 limit of a sequence of periodic orbits.

本项目主要致力于研究曲面上保面积同胚在退化且非双曲不动点附近的动力学性质。我们希望能够解决Frederic Le Roux关于曲面上保面积同胚在退化且非双曲不动点附近周期轨道存在性的猜想，并由此给出Poincare-Birkhoff型定理的一个推广形式,以及对Hingston关于2n维轮胎面上哈密尔顿动力系统在拓扑退化不动点附近周期轨道存在与否问题在二维情况下的回答。

曲面上同胚的周期轨道的存在性问题起源于庞加莱对限制性三体问题的研究，而对周期轨道的存在性和性质的研究始终是这个方向的核心问题之一。我们研究了圆柱面上的保面积且同痕于恒等映射的同胚，并得到了一定条件下周期轨道的存在性以及周期轨道随着周期增长的速度的下界的估计。基于这些结果，我们得到了一些天体力学和几何上的应用。除此以外，我们还研究了线性哈密尔顿系统的特征值的性质，这和不动点附近的动力学性质是相关的。我们期待，这些结果可以帮助我们更深入理解曲面动力系统。