平面系统的几何与可积性问题研究

We mainly study geometry and integrability problems in perturbations of some integrable polynomial systems possessing a heteroclinic cycle on the plane. More precisely, we will first look for the integrability conditions for each saddle of the k-saddle cycle, analyze the relationships between them, and estimate the cyclicity of the heteroclinic cycle; second, we will study the relationship between the saddles on the k-saddle cycle and the center located in the interior of the cycle. These problems come from the classical qualitative theory of ordinary differential equations and the corresponding methods and results can be applied to the Hilbert’s 16th problem and the other ones.

本项目研究的是平面系统的几何与可积性问题，主要探讨含异宿环的几类可积多项式系统在小扰动下的可积性问题和几何性质。具体来讲，一是探讨k-鞍点环上的鞍点的可积性条件，分析各鞍点之间的关系，并研究k-鞍点环的环性；二是探讨k-鞍点环上的鞍点与内部中心型奇点在可积性问题和几何性质方面的关系。本项目所研究的问题是常微分方程定性理论的经典内容之一，项目的研究方法及所得结果可以应用于Hilbert第16问题等很多相关问题上。

项目主要研究了平面微分系统的几何与可积性问题，主要有三个方面：一是鞍点的可积性问题。我们对几类n次哈密顿系统和达布可积系统的小扰动系统的拓扑不变量所能达到的阶数进行了估计，取得了n^2+O(n)的下界，并对相应的广义中心理想的生成元个数也进行了估计，取得了更好的结果，即其下界达到3n^2/2+O(n)，甚至在某些特殊情形能达到2n^2+O(n)。这些下界估计在希尔伯特第十六问题中有着重要应用。二是给出n次哈密顿系统的周期1形式在通有积分曲线的无穷远奇点处存在极点的必要条件，即该奇点对应的哈密顿函数最高次项中的因子重数不能低于(n+1)/2。结合通有积分曲线的复拓扑结构，我们得出上述条件也是系统存在等时中心的必要条件。另外，我们给出了实哈密顿系统中心奇点线性化变换全局存在的一些必要和充分条件。这些结果与二维的雅可比猜想有着重要联系，有助于进一步研究该猜想。三是研究了两类平面分片光滑的微分系统的极限环个数问题，并取得了相应的上界分别为1和3。