多复变全纯映照族的正规性理论

本项目拟以多复变函数族和多复变全纯映照族为研究对象，以Bloch 原理为出发点，利用高维Zalcman 引理研究多复变全纯映照族与移动超平面和移动超曲面有关的正规性，并研究Zalcman-Pang引理在高维时的情形，从而研究涉及偏导数或微分多项式例外值的正规性定则。另一方面，单位圆盘上的值分布理论与复平面上的值分布理论有很大不同，作为正规族理论的应用，本项目研究单位圆盘到复射影空间的全纯映照奇异方向的存在性。本项目为多复变中寻找具体的正规性定则及其在值分布理论中的应用提供了有效的新方法。

本项目的研究包括以下三个要点：一是推广单复变中的Zalcman-Pang引理至多复变全纯函数情形，它在证明涉及导数的正规定则时起着关键作用；二是研究多复变全纯函数族中一类涉及导数的正规定则；三是研究单位圆盘上的多复变全纯映照在满足一定增长条件下奇异方向的存在性，并寻找关于单位圆盘上的多复变全纯映照奇异方向存在性判别的一般准则。通过一年的研究工作，第一点和第二点的研究内容进行得比较顺利，我们推广了Zalcman-Pang引理至多复变全纯函数情形，主要是得到了涉及零点重级和高阶偏导数的高维Zalcman-Pang引理，并用于证明了一类涉及高阶偏导数和零点重级的正规定则，改进了之前我们已经有的一个涉及导数的正规定则，较好地完成了预期目标。研究中我们主要克服的难点在于，多复变全纯函数Tayler展开中出现的多重指标以及其零点集的非孤立性使得证明并不是从单个变量到多个变量的简单推广。对第三个研究要点，在单位圆盘上全纯映照奇异方向存在性方面，我们前期工作中得到了单位圆盘上全纯映照在特征函数的一定增长条件下奇异方向的存在性，我们试图对该增长条件做一定改进，但并未取得更好的结论，还没能找到适用于奇异方向存在性判别的一般准则。虽然如此，在研究过程中我们总结了许多经验教训，进一步明确了下一步的研究目标。