高维空间中区域的拟共形等价

This project aims at the equivalent property between domains in higher dimensional space. The target is to get the conditions on quasiconformal equivalence between domains. The project will divided into three aspects: Firstly, we will investigate the geometric characters, portrait its boundary behavior. Secondly, we will investigate the rigidity of quasiconformal mapping. Specially, we will obtain the connectivity between quasiconformal mapping, weakly quasisymmetric mapping and quasisymmetric mapping, get the conditions on their equivalent property in higher dimensional space. Thirdly, we will investigate the accessibility of capacity in terms of capacitor and the extension of extremal function for capacity. We will take the modulus and extremal length of curve family as tools and make connection of the above three aspect through the construction of curve family. The core point is to estimate the modulus and extremal length of curve families we constructed.

本项目主要研究高维空间中区域的拟共形等价性，目的是建立高维区域之间相互拟共形等价的条件。主要分为如下三个密切相关的方面：一是研究高维空间中与单位球拟共形等价区域的几何特征，给出其边界性质的几何描述；二是研究高维拟共形映射的刚性，特别的，给出高维拟共形映射、弱拟对称映射与拟对称映射之间的关系，建立这些不同映射在高维空间中等价的条件；三是研究高维空间中capacitor所对应容量的可达性以及极值函数的延拓性。我们将主要采用曲线族的模与极值长度为工具，通过曲线族的构造来建立上述三个问题之间的联系，核心是估计所构造的各种曲线族的模与极值长度。

本项目主要研究高维空间中区域的拟共形映射的等价问题。在高维空间拟共形映射等价性问题中，一个核心问题是拟共形映射的刚性问题，另外，该问题也与单叶性问题等密切相关。在本项目中，我们在如下几个方面进行了研究：1. 研究了欧式空间中Broad域上弱拟对称与拟对称映射的等价性，也即是弱拟对称的刚性，得到了一定条件下，弱拟对称与拟对称是等价的。2. 研究了Loewner空间中拟共形映射的刚性，引入了弱（L, M）拟对称映射的概念，证明了在满足一定正则性条件下，Loewner空间中的拟共形映射蕴含拟对称映射。3. 研究了Loewner空间中拟共形映射的solid性质. 4. 研究圆周上Zygmund函数，以及其共形自然延拓，并利用圆周上Zygmund函数给予Teichmuller空间以及几类子空间在原点切空间的刻画。5. 研究Tamanoi高阶Schwarz导数诱导的Bers嵌入在几类Teichmuller子空间上的全纯性。 6. 利用调和函数，研究了单叶性内径、拟共形延拓问题，给出了区域为拟圆的条件。