非结构网格谱元法及其应用

研究内容包括两方面: 新型谱元法设计和它在复杂问题上的应用。在基础算法研究中，我们将设计并分析基于三角剖分的新型谱元法。该方法将允许使用无结构三角形、四边形混合网格，因此与传统的谱元法相比更具网格剖分的灵活性，这对进一步发展谱元自适应方法有重要意义。本项目的第一目标是发展一种易于分析且实现简单的三角谱元法。我们希望新方法同时兼有谱收敛精度和快速张量积性质，这将使它具备与其它优秀算法媲美的优点。在应用研究中，首先计划将上述方法应用于复杂流体计算，特别是可由Cahn-Hilliard或Allen-Cahn方程描述的多相流和流固耦合型血液流等。其次，我们将重点考虑分数阶方程的高精度计算。分数阶方程广泛存在于复杂系统如粘弹性介质和具记忆功能的材料中，方程本身具有记忆特性。这一特性使得分数阶方程的计算面临极大的困难。我们旨在设计和分析适合处理该问题的高效谱方法。

- 设计了一个求解不可压Navier-Stokes方程的并行谱元／方向分裂方法。设计的算法基于时间变量的方向分裂格式和空间方向的谱元法。为使算法绝对稳定，我们在设计中改进了谱元交面的处理，即通过引入一个交面加权平均，使用了一个新的定义在分片多项式空间中的离散导数算子;.- 设计了Navier-Stokes方程的基于非结构网格的混合谱元法，并成功用于不可压流体的数值模拟。成功之处在于引入了一个可处理非结构网格交面连续性的新方法，其与众不同之处是构造了便于操作的交面节点基函数，同时使得边界条件的实现和非线性项的处理大大简化;.- 提出并分析了一类求解Cahn-Hilliard方程的全离散格式。该格式结合了大步长时间离散方法和空间谱元法。我们利用该格式模拟了2D两相流体，观察到了一些有意思的气泡上升现象，其机理有待从物理上进行解释;. - 研究了人体颈动脉粥样硬化斑块的力学建模及其数值计算。颈动脉粥样硬化斑块的动力学行为由Navier-Stokes 方程和弹性方程耦合描述。借助一定的假设，我们将该问题简化为一个弹性力学方程，并构造了一个针对模型简化方程的有效算法;.- 研究了具有随机系数的Stokes方程的谱方法。基于有限维Karhunen–Loève分解，我们利用随机Galerkin逼近将原始的随机Stokes方程转化为一个具确定性系数的耦合Stokes方程组。结合P_NxP_{N-2}匹配谱方法和块Jacobi迭代，我们设计了一个有效算法，并证明了离散问题的适定性;.- 在分数阶偏微分方程的理论和数值计算方面，我们构造了一系列高阶格式;.- 设计了一种新型的单区域上的三角谱方法，建立了LBB相容性条件，并推导了误差估计；研究了新型三角谱方法的基于Schur补的迭代算法;.- 在基础理论研究方面，考察了分数阶方程两点边值问题解的正则性，得到了当右端项无穷光滑时，方程的解在一定的假设条件下也是无穷光滑的，这为研究分数阶的高阶数值方法提供了理论依据。其次，我们研究了无约束的时间分数阶扩散方程 最优控制问题的谱方法，推导了一阶最优性条件，对时空谱离散逼近作了先验误差分析，设计了求解离散最优控制问题的共轭梯度算法，并给出了选择最优迭代步长的方法。