统计深度函数的若干推广及其计算方法研究

In univariate statistics, the order statistics are widely used. They lay the foundation for many statistical inference procedures, as did by the maximum likelihood method, the moment method and the least square method, etc.. In the multivariate setting, the statistical depth functions play a similar role of order statistics and are widely utilized to induce various desirable multivariate methods, because they are capable to provide a center-outward ordering for the multivariate observations. In this project, we are interested to: (1) extend the current statistical depth functions to versions that can order observations, to improve their poor performances when the dimension may be very high relative to the sample size, and investigagte the related theoretical properties and pratical applications; (2) in the regression setting, propose some new projection regression depths, develop a general notion of regression depth, and study the theoretical properties and the confidence region construction of the associated estimators,which includes the confidence region construction of the existing depth function based estimators as a particular case; (3) study the computing issue of statistical depth functions and the related extensions, and construct some feasible and fast (both exact and approximate) algorithms, as well as the corresponding package. This project can be classed as researches of both theory and method. It can be considered as a development of the current multivariate statistics. Ideally, the researches in this project are expected to not only be helpful in enriching the statistical depth functions, but also bring benefit to the computation of these depth-induced procedures, which in turn probably improve the usability of the depth functions and their related methods to a great extend in the practical data analysis.

在一元统计学中，次序统计量应用广泛。它同极大似然法、矩法及最小二乘法等地位类似，是众多统计推断方法的构造基础。在多元情形下，统计深度函数因其能为数据提供某种"由中心而外"的次序而被广泛用于诱导各种性质优良的多元方法，起着与次序统计量相似的作用。本项目拟：(1)针对现有深度函数在数据维数相对样本容量较大时性能表现较差的客观实际，构建高维深度函数，并考察与之相关的理论性质与实际应用；(2)建立回归情形下可对回归参数排序的投影回归深度函数，给出一般回归深度函数的公理化体系，研究其诱导估计的理论性质与置信域构造方法，相关构造方法也可用于现有统计深度函数的诱导估计上；(3)深入开展统计深度函数及其推广形式精确与近似算法的研究，编写相应计算程序包。本项目属理论和方法研究，所研究问题是对当今多元统计的丰富和发展。它的推进可望能为现有统计深度函数带来新发展，为其计算注入新活力，进而促进相关方法的实际应用。

在一元统计学中，次序统计量应用广泛。它同极大似然法、矩法及最小二乘法等地位类似，是众多统计推断方法的构造基础。在多元情形下，统计深度函数因其能为数据提供某种“由中心而外”的次序而被广泛用于诱导各种性质优良的多元方法，起着与次序统计量相似的作用。考虑到现有统计深度函数主要针对位置情形的观察进行排序，没有考虑回归观察值中残差项存现的信息，因此如何对回归观察值进行排序值得深入思考；此外，考虑到深度函数往往涉及到数据的组合性质，计算复杂度较大，现有文献对于这一问题已有初步探索，但仍不够深入，因此有必要开展统计深度函数及其推广形式精确与近似算法方面的研究，编写相应计算程序包。..在本基金资助下，项目组开展了如下方面的研究：.1、经验深度函数及其性质.(1) 广义稳健经验深度函数及其性质.(2) Lq-范数zonoid深度及其性质.2、回归深度函数及其诱导估计.(1) 回归深度函数公理化体系；.(2) 投影回归深度函数及其样本、总体形式之间关系的推导；.(3) 基于投影回归深度的类中位数回归估计(PRM)的唯一性，相合性、二阶收敛性和极限分布等理论性质.3、统计深度函数及其推广形式的计算方法.(1) 随机投影深度、投影回归深度函数的理论性质和数值表现； .(2) 投影回归深度及其诱导的类中位数回归估计的精确和近似算法研究； .(3) 编写半空间深度、投影深度、广环面深度及其在高维情形和回归情形下推广形式的Matlab计算程序包。..目前主要取得的重要结果有：.1、提出了两类重要的经验深度函数，将文献常见的empirical likelihood和zonoid depth统一到同一个形式下；.2、提出可适应于给回归观察值排序的广义回归深度函数，拓展了现有文献体系的内容；.3、系统的研究了投影深度、半空间深度的计算算法，并整理编辑一个完整的统计深度函数的计算包。.基本实现项目申请时的预定目标。