复形的 Auslander-Reiten 理论

Auslander-Reiten理论是现代代数表示论的基石之一，它有深刻而广泛的应用。本项目研究复形同伦范畴以及与之相关的三角范畴上的Auslander-Reiten理论。具体地，我们将研究同伦范畴中的不可约态射以及Auslander-Reiten箭图；考察Happel函子及其延拓函子是否保持不可约态射；研究同伦范畴中Auslander-Reiten三角的第一项以及第三项的全体；研究并具体计算某些微分分次代数的导出范畴上的Auslander-Reiten三角；研究奇点范畴及其紧致完备化上的Auslander-Reiten公式并考察其诱导的Auslander-Reiten三角。项目的开展将有助于理解同伦范畴、导出范畴以及奇点范畴的内部结构，有助于对模范畴上Auslander-Reiten理论中某些公开问题的研究。

Auslander-Reiten理论是现代代数表示论的基石之一，其研究涉及函子范畴理论、三角范畴、同伦范畴以及代数的上同调理论。在项目的执行中，我们主要研究了Auslander关于由对象决定态射的理论，以及该理论与Auslander-Reiten理论之间的关系；研究了复形同伦范畴的Auslander-Reiten公式；研究了张量积代数的Hochschild上同调代数的结构，以及有限Abel群代数的Hochschild上同调代数。项目的主要成果如下：1.证明了加法范畴是对偶簇当且仅当其满足Auslander关于由对象决定态射的条件；2.利用由对象决定态射的理论，给出了Abel范畴满足Serre对偶的充分必要条件；3.证明了张量积代数的Hochschild上同调代数的Batalin-Vilkovisky结构与代数的张量积是相互协调的；4.作为应用，计算了某些有限Abel群代数的Hochschild上同调代数上的Lie括号。上述成果对理解Auslander-Reiten序列第三项的刻画这一公开问题提供了新的视角，为下一步的工作奠定了坚实的基础。