差分Galois理论中的算法及其应用

Difference equations include recurrence, q-recurrence, Mahler-type and other equations induced by field automorphisms. Difference Galois theory is to determine algebraic relations among solutions of linear difference equations. Its Galois group consists of transformations of solutions that preserve algebraic relations. At present, difference Galois theory has been used to study special functions, automata theory, combinatorics and other mathematical branches, in which many equations involve parameters. Although algorithms are indispensable in applications of difference Galois theory, there is only one complete algorithm available to compute Galois groups for linear recurrence equations without parameters. In this project, we focus on the following topics:.1. Develop an algorithm to compute Galois groups for linear q-recurrence equations，Mahler equations and linear difference equations with parameters..2. Apply the above algorithms to determine the transcendence of the generating functions of p-automatic sequences and those of 3D lattice-paths that arise from automata theory and combinatorics, respectively..3. Apply the above algorithms to prove combinatorial identities..Substantial progress in the project will impact on the algoritmic development of difference Galois theory and extend its applicability

差分方程包含递归方程，q-差分方程，Mahler方程以及其它由域自同构算子诱导的方程。差分Galois理论研究线性差分方程解之间的代数关系。它的Galois群由那些保持代数关系的解空间的变换构成。目前差分Galois理论已经被应用于研究特殊函数、自动机理论以及组合数学等数学分支。在这些应用中涉及的方程常常带有参数。尽管算法在差分Galois理论的应用中不可或缺，但是目前仅对不含参数线性递归方程存在求Galois群的完整算法。在本项目中，我们将研究如下课题：1）发展求线性q-差分方程、Mahler方程以及含参数线性差分方程Galois群的算法；2）利用上述算法确定如自动机理论中的p-automatic序列的生成函数及3维空间格路行走的生成函数等特殊函数的超越性；3）利用上述算法证明组合恒等式。.本项目成果有望推动差分Galois理论在算法方面的发展并扩大其应用范围。

线性微分差分方程是广泛出现的两类方程.微分差分Galois理论是研究这两类方程的重要代数工具。通过Galois理论，人们可以刻画方程解之间的代数关系，并且可以判定方程是否具有特殊类型的解。在Galois理论中，正问题与逆问题是两个基本问题， 而Galois理论在其它学科中的应用近年来成为研究热点。本项目主要围绕正问题、逆问题以及Galois理论的应用三个方面展开。具体而言，本项目研究内容包括：1）线性（含参数）微分差分方程Galois群的计算与算法实现；2）含参数线性微分差分方程Galois群的特定化及其在逆问题中的应用；3）线性微分差分方程Galois理论在组合数学等领域的应用。项目在上述三个方面均取得重要进展。在计算方面，我们给出计算线性微分差分混合方程Galois群的计算方法；发展了初等函数积分中的本原扩张与对数扩张的加法分解算法；显式估计了函数域上代数曲线点高度拟等价关系中的常数。在特定化方面，我们发展了微分差分Galois群的特定化技术，并将其应用于差分Galois理论中的反问题与解决一般特征0域上的Matzat猜想。在应用方面，我们提出了巧构邻差中的可分问题，并应用于组合恒等式证明中著名的Wilf-Zeilberger算法的终止性判定；从代数角度系统发展了计算微分形式中的邻差算子（也被称为Picard-Fuchs算子或者Calabi-Yau算子）的方法，该方法有望应用于镜像对称中Calabi-Yau算子的计算。项目成果得到本领域同行好评，获得符号计算领域最重要的国际奖项一项：第46届国际符号与代数计算年会“杰出论文奖”。项目总计完成论文11篇，其中已发表7篇，2篇已投稿，另有2篇已完稿；项目培养博士生5人，其中4人已毕业，1人即将毕业。