有限单群的广义置换子群和数量性质

Significant progress has been made in the research of the quantitative properties of finite simple groups. However, the generalized permutabilities of subgroups of simple groups have generally received little attention. In this project, the generalized permutable subgroups of simple groups and the quantitative properties of groups are studied based on the Classification of the Finite Simple Groups and the research and development in number theory and graph theory. We focus on the following two topics: . 1. The X-permutability of subgroups in finite simple groups and the special subgroups related to the X-permutability are considered in this project. This study is closely related to the open problem 17.112 in Unsolved Problems in Group Theory (18th edition) published by Siberian Division of Russian Academy of Sciences.. 2. The influence of some special quantitative properties of groups on the structure of finite simple groups is researched and in particular, based on these special quantitative properties, some new characterization of simple groups are obtained.. We shall study the simplicity of groups in view of their generalized permutable subgroups together with their quantitative properties, which is innovative.

有限单群数量性质的研究在国内外有较大的进展。但在研究单群中子群的广义置换性质方面，研究成果极少。本项目利用有限单群分类定理和数论、图论中的相关成果，研究有限单群中子群的各种广义置换性质和群的数量性质。主要研究内容为：1.单群中子群的X-可置换性以及与X-可置换性相关的一些特殊子群，该研究内容与俄罗斯科学院西伯利亚分院出版的 《Unsolved Problems in Group Theory》（第18版）中的公开问题17.112密切相关；2.单群的某些特殊的数量性质对单群结构的影响，特别地，用这些特殊的数量性质来刻画单群。本项目从更广的角度利用子群的X-可置换性并结合群的数量性质判断群的单性，在研究内容上是一个创新。

目前，人们对有限群的数量性质和子群性质的研究已经不断深入，取得了许多深刻的结果。本项目运用当前的一些新进展，研究单群的广义置换子群和数量刻画。本项目的主要研究内容和研究结果如下。.1、研究极小子群的弱c-可置换性和极大子群的G-半置换性对群结构的影响。利用极小子群的弱c-可置换性，给出一个群属于某个饱和群系的充分必要条件。特别地，证明极小子群是弱c-可置换子群的有限群是可解的，给出了广义Fitting子群的极小子群为弱c-可置换子群的群的结构。利用极大可解子群的G-半置换性，给出了群的可解性的一个判别条件。.2、利用群的阶和某个特殊的共轭类长度（极大共轭类长度或者极小共轭类长度），刻画了散在单群。.3、研究元素的最高阶与某些单群结构之间的关系，证明了单K4-群L2(q)，单K4-群的自同构群，以及单K5-群L3(p)可由群阶和元素最高阶来刻画，这里(3, p-1)=1。.4、研究了群的自同构对群的结构的影响。给出自同构群的阶为4pq^2的有限群的具体分类，这里p和q是不同的素数且满足2<p<q。.5、研究了一个群的Sylow p-子群的阶和该群的最大共轭类长度之间的关系，证明在某些条件下，P/Op(G)的阶不超过G的最大共轭类长，这里p是一个素数，P为非交换群群G的一个Sylow p-子群。.6、研究有限群特征标度数和余度数与群结构之间联系，证明群G的阶的素因子个数可由G的所有特征标余度数的最大素因子的某个函数来界定。这一结果回答了钱国华教授等提出的一个公开问题。