基于拟阵方法的粗糙集理论研究

Using various mathematical tools to study rough sets are always hot topics in the research of rough sets. This project is expected to use a new tool, matroid theory, to study rough sets and focus on the theoretical aspect. Matroids abstract independent structures of graphs and vector spaces, and connect intimately with other mathematical branches such as graph theory, algebra, lattice theory and combinatorial optimization, etc. These properties of matroids provide rich research context for this project. First, we study the matroidal structures of generalized rough set models, point out similarities and differences of these models from matroidal viewpoint, and establish abstract approximation spaces based on classical lattices in matroid theory. Second, we give graphical and matric representations of generalized rough set models using representability of induced matroids of corresponding models. Third, based on the study of structure properties of fuzzy rough sets concerning fuzzy matroids, sets of axioms are proposed to characterize fuzzy approximation operators. Finally, we characterize attribute reduction from matroidal viewpoint, investigate the meanings of classical algorithms and operations in matroid theory in the context of information systems and explore new algorithms to attribute reduction using matroidal approaches. This project is expected to make progress in the theoretical aspect, which will promote application research in the combination of matroids and rough sets.

运用其他数学工具研究粗糙集一直是粗糙集理论研究的热点。本项目拟采用一种新的数学工具，拟阵理论，来研究粗糙集并侧重于理论研究。拟阵抽象了图、向量空间中的独立结构，和图论、代数、格论、组合优化等数学学科有着密切联系，拟阵的这些性质为本项目的进行提供了丰富的研究背景。本项目首先研究各种粗糙集扩展模型的拟阵结构，从拟阵的角度去理解各种粗糙集扩展模型之间的异同，研究基于拟阵理论中典型格的抽象近似空间模型。其次，利用粗糙集扩展模型导出拟阵的可线性表示性或可图性质给出相应模型的图或矩阵表示。第三，研究模糊粗糙集中的模糊拟阵结构，在此基础上给出模糊近似算子的公理化刻画。最后，建立信息系统属性约简的拟阵刻画，研究拟阵理论中经典算法和运算在信息系统背景下的意义，探寻基于拟阵方法的属性约简新算法。本项目预期在理论上有突破，从而促进拟阵理论和粗糙集理论的融合在应用研究方面的发展。

本项目用拟阵理论来研究粗糙集。拟阵理论和图论、格论等数学学科有着密切的联系，拟阵的这些性质为本项目提供了丰富的研究背景。近三年来，课题组的主要工作集中在如下三个方面：(1) 在基于格论方法的粗糙集和拟阵融合方面，指出经典粗糙集模型中所有可定义集做成的格就是某个拟阵的开闭集格。研究了论域上的拟阵和等价关系之间的联系。从某个论域上的拟阵导出了论域上的两个等价关系，一个等价关系来自于圈的传递性质，在此等价关系下等价类为连通分支，另一个等价关系是定义在拟阵对应的几何格的原子之上。研究了这两种等价关系导出的上下近似的性质并讨论了相反的问题，即是否存在某个论域上的拟阵使得如上方式导出的两种等价关系是相同的。讨论了扩展粗糙集模型和拟阵的联系，研究了几何格导出的覆盖粗糙集模型中上下近似算子的性质; (2) 研究超拟阵、模糊拟阵的公理系统以及在此基础上建立各类拟阵扩展理论和粗糙集理论的联系。研究H模糊拟阵的基公理及超拟阵的公理系统，特别的，将偏序集拟阵的独立集公理、基公理和圈公理推广到了几种特殊的分配超拟阵上,研究了基于偏序集拟阵的粗糙拟阵和几种拟阵扩展理论的联系，提出了新的粗糙集扩展模型; (3) 研究了粗糙集扩展理论和拟阵理论之间的联系。扩展了三支决策模型，基于新的三支决策模型提出了一种新的拟阵扩展理论，即三支拟阵。扩展了三支拟阵，提出了模糊三支拟阵。给出了模糊集、直觉模糊集、粗糙集等在新的三支决策模型下的解释。