不含某些子式的拟阵结构

Rota's Conjecture that the number of excluded minors over a finite field is finite proposed by Rota on the Proceedings of International Congress of Mathematics in 1970 is a very fundamental and important question in matroid theory, whose solution would greatly impulse the study of matroid structure and alogrithm. We will mainly consider the following questions in this project. (1) Let M be a round matroid with a PG(n-1,q)-minor but no U_{2,q^2+1}-minor. Whether does M contain a U_{2,q+2}-minor when n is sufficiently large? (2) Let M be an excluded minor over a finite field. Whether does M contain a large line after a sequence of cosegment-segment exchanges? (3) What is the structure of matroids with k*k grid-minor but no PG(n-1,q)-minor？These qustions'solution and the ideas and teniques used to solve these questions would be of great use to Rota's Conjecture.

Rota猜想（即对任意的有限域F，F不可表示的最小拟阵个数是有限的。）由Rota在1970年国际数学大会上提出，是拟阵中最基本也是最核心的一个问题，它的解决将对拟阵结构及算法的研究起很大的推动作用。本课题主要研究如下问题：（1）当n取足够大时，如果一个round拟阵M含PG(n-1,q)子式但不含U_{2,q^2+1}子式，则M是否一定不含U_{2,q+2}子式？（2）设M为任意有限域的一个excluded minor，经过任意多次的cosegment-segment 变换后得到的拟阵最多有一个多大的U_{2,n}子式？（3）含 k*k grid子式但不含PG(n-1,q)子式的拟阵有什么结构？这些问题的解决及解决这些问题中用到的思路和技巧将在很大程度上促进Rota猜想的解决。

Frame matroids和lifted-graphic matrioids是与biased graphs相关的二类重要拟阵。这二类拟阵在极值拟阵和Rota猜想的证明过程中起着至关重要的作用。（1）我们证明了对任意给定的拟阵M不存在一个多项式算法可以判断出M是不是Frame matroids或者lifted graphic matroids，回答了Jim Geelen、Bert Gerards和Geoff Whittle提出的一个公开猜想。（2）我们给出了没有顶点不交unbalanced圈的biased graph的一个结构刻画，回答了Thomas Zaslavsky在1992年提出的一个公开问题。（3）我们刻画了有相同lift bicircular matroids的bicircular图的结构，回答了Irene Pivotto提出的一个公开问题。（4）我们给出了2连通graphic frame matroids的所有的图表示。该结论是证明Biased graph里面最重要的一个猜想（即frame matroids的最小排除子式的个数是有限的）必须用到的一个结果。..Intertwining connectivity和flower是二个重要的连通度概念。（5）我们证明了当拟阵元素个数足够多的时候，对任意二对不相交的子集，总可以找到一个元素把它去掉后依旧保持它们的Intertwining connectivity，回答了Jim Geelen提出的一个公开猜想。（6）我们刻画了vertically 4-connected拟阵所有的等价的4-flowers结构。（7）我们刻画了所有可以在maximal flowers中表示的flowers。