多重loop李（超）代数研究中的非交换Galois上同调方法

Multiloop Lie (super)algebras are important objects in infinite dimensional Lie theory. Recent investigations show that every twisted multiloop Lie (super)algebra is a twisted form of an untwisted multiloop Lie (super)algebra with respect to a Galois extension of certain multivariable Laurent polynomial ring. These twisted forms can be classified by the corresponding non-abelian Galois cohomology set. This fact introduced non-abelian Galois cohomology methods into the study of infinite-dimensional Lie theory..With the use of non-abelian Galois cohomology methods, this project plans to study problems concerning the construction of integral bases of twisted multiloop Lie algebras, the representations of twisted multiloop Lie algebras and the classifications of twisted multiloop Lie superalgebras. These researches are expected to yield a few related results on extended affine Lie algebras.

多重loop李（超）代数是无限维李理论中的一类重要研究对象。近期的研究表明每个有扭多重loop李（超）代数都是一个无扭多重loop李（超）代数关于多变量Laurent多项式环的一个Galois扩张的扭形式。这些扭形式可由相应的非交换Galois上同调集分类。这一事实使得非交换Galois上同调方法进入到无限维李理论的研究中。..本项目拟利用非交换Galois上同调方法对有扭多重loop李代数整基的构造、有扭多重loop李代数的表示和有扭多重loop李超代数的分类等三方面的问题进行研究。预期可通过对这些具体问题的研究获得扩张仿射李代数的相关结果。

本项目对以结合代数为系数环的矩阵李超代数进行了研究，严格地刻画了以结合代数为系数环的正交辛李超代数和Periplectic李超代数的泛中心扩张，进而给出了这两类李超代数的二次同调群并建立了这些二次同调群与坐标代数的一次二面体或斜二面体同调群之间的同构。这些研究成果一方面是经典的正交辛李超代数和Periplectic李超代数的中心扩张理论的推广，对研究相应的multiloop李超代数和根系分次李代数有一定的理论意义；另一方面揭示了矩阵李超代数的同调理论与其坐标代数的循环同调、二面体同调等理论之间存在紧密联系，启发我们进一步探索矩阵李超代数的高次同调群与其坐标代数的高次二面体同调群之间的联系。.. 本项目还对量子Queer超代数的表示理论进行了研究，得到了两个量子Queer超代数之间的Howe对偶。这一结果是进一步研究量子Queer超代数的广义Schur-Weyl对偶和不变量理论的基础。