算子代数上一些映射的刻画

This project contributes to the study of some mappings on operator algebras. One main problem in operator algebras is to study the algebraic structure and properties of operator algebras. However, the structure of operator algebras is rather complicated, even for the von Neumann algebra, which has quite good properties, its classification problem is far from being solved. Recently, many authors have studied various kinds of mappings on operator algebras systematically, including their algebraic properties, geometric properties, classification problems and so forth. This project will further research the structure of operator algebras by proposing new ideas and methods, and reveal properties of operator algebras as well as inner connections among various mappings on them. It mainly focuses on the following problems: (1) characterizing problems of 2-local derivations and zero-product preserving mappings; (2) whether a mapping satisfying certain operator equations is a derivation, or a centralizer; (3) whether a mapping derivable at some (arbitrary) points is a derivation.

该项目将着重研究算子代数上一些映射的刻画问题。算子代数中的一个重要问题就是研究其代数结构和性质。然而算子代数的结构非常复杂，即便是性质相当好的von Neumann 代数，其分类问题亦远未解决。近年来国内外的许多学者对算子代数上的各种映射进行了系统的研究，探讨了这些映射的代数性质，几何性质以及刻画分类等问题。本项目将在前人基础上进一步探究算子代数的结构，通过提出新的思路和方法，以此来揭示算子代数本身固有的性质以及与其上各种映射间的内在联系，聚焦于如下前沿问题：(1) 2-局部导子以及0点保积映射的刻画问题。(2) 满足某算子方程的映射是否是导子、或中心化子。(3) 某(任)一点可导的映射是否是导子。

本项目属于基础理论研究，主要研究算子代数上一些映射的刻画。本人通过阅读相关参考文献及时了解到国内外算子代数上映射刻画问题的研究现状；通过开展课题研究，本人掌握了一些算子代数理论方法和技巧，这为研究的顺利进行提供了保障。本项目按照项目原计划研究得到了一系列相应的结果，并在国外期刊上发表论文一篇。首先，本项目研究了单位半单复巴拿赫代数A上的2-局部导子，并证明了如果soc(A)是A的左分离集，那么A上的2-局部导子是导子；其次，本项目讨论了某些代数上满足一定算子方程的映射是否是中心化子的问题。通过对广义(m,n,l,s,t)-Jordan中心化子的研究，我们证明了一些自反代数及广义矩阵代数上的广义(m,n,l,s,t)-Jordan中心化子是中心化子。利用上述结论我们将若干文献中的算子方程统一化，并证明了满足统一化后算子方程的映射是中心化子。再者，本项目讨论了在某一点可导的映射是否是导子、Jordan导子或Lie导子的问题。我们研究了广义矩阵代数上在0点、P点、I点(m,n)-可导的映射，以及CSL代数上在0点(m,n)-可导的映射，并且揭示了该类映射与Lie导子、Jordan导子及导子间的联系。最后，本项目讨论研究了n重零积决定代数及其性质。