有限半域及相对差集的子结构、分类和构造

Semifields were first studied by Dickson more than one century ago in a purely algebraic point of view. Nowadays the theory of semifields has become of considerable interest in many different areas of mathematics. In this proposal, we mainly concentrate on finite semifields in the context of finite geometry and relative difference sets, and their application in coding theory and cryptography, see for example...In this research project proposed, we have two major objectives. First, the construction and classification of semifields by investigating their substructures and autotopism groups. As semifields can be viewed as a special type of relative difference sets, we choose them and their projections to be our second research objective. Various approaches from the theory of finite fields, algebraic geometry, finite geometry, group theory and etc. will be applied...We divide our research schedule into 5 pieces, which together cover the 2-years fellowship. The milestones of the research timeline are around 6 scholarly papers for publication, which are expected to improve our knowledge on semifields and relative difference sets, get new constructions, prove some classification results and find more application of them.

半域的研究始于一个多世纪以前，Dickson首先以纯代数的角度对它进行了研究。如今，半域理论已经成为众多数学学科共同的研究对象。在本项目中，我们将从有限几何和相对差集的角度，展开对有限半域及其应用的研究。我们有两类主要的研究对象，首先，通过研究半域的子结构和自同痕群，来研究半域的分类和构造。其次，我们以与半域密切相关的相对差集及其投射作为第二类研究对象。有限域理论、代数几何、有限几何和群论等数学理论中将被广泛地应用到研究之中去。我们的研究计划分为6个阶段，预计发表大约9篇左右的学术论文。本项目的研究成果将拓展我们对半域和相对差集的认识，得到关于它们的新的构造、分类和应用方面的结果。

本项目的主要研究目标是半域和相对差集。半域是一个代数学概念，而通过半域坐标化标记得到的有限射影平面是一个几何概念，同时在自同构群作用下，我们还可以通过特殊参数的相对差集来定义有限射影平面，而差集本身又是组合设计中的一个重要研究对象。本项目通过有限几何和相对差集的研究视角，综合运用有限几何、有限域上的多项式理论、群论、代数数论和指数和等数学工具，得到了4个方面的成果：1. 构造了超椭圆、Unital等有限半域平面上的子结构，并研究了它们的若干重要性质，同时，创造性地将半域的左核、中核和右核这三个等价不变量，推广到一般的秩距离码上，为秩距离码的分类和计数提供了有效的工具；2. 提出并研究了半域乘法的switching构造法，并在一定假设条件下，对此类构造法得到的半域进行了分类；3. 完全证明了一个平面函数定义的平面是半域平面当且仅当该平面函数是Dembowski-Ostrom型，克服了Coulter等人以前所需要的平移平面假设；4. 给出了nega-bent函数的一个等价定义并给出了新的构造，同时将相对差集和半域应用在了图论、无线电交汇等领域的相关问题上。受项目资助期间，在国际期刊上发表学术论文14篇，均为SCI检索论文。